Probabilidades con tabla de contingencia: unión y condicionada

EJERCICIO 7. (2,5 puntos) En la tabla siguiente se recoge el número de coches y motos que se presentaron a la ITV en el año 2023: Coches Motos Aptos 116.383 160.667 No aptos 2.679 3.447 Se elige un vehículo al azar de entre los coches y motos que se presentaron a dicha inspección. Tomamos los datos como recuentos (la notación con punto es separador de miles): - Coches aptos: $116383$ - Motos aptas: $160667$ - Coches no aptos: $2679$ - Motos no aptas: $3447$ Totales: $$N_{\text{coches}}=116383+2679=119062,$$ $$N_{\text{motos}}=160667+3447=164114,$$ $$N_{\text{total}}=119062+164114=283176.$$

Apartado a) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto? Sea $M$ = “moto” y $A$ = “apto”. Usamos: $$P(M\cup A)=P(M)+P(A)-P(M\cap A).$$ En términos de recuentos: $$P(M)=\frac{164114}{283176},$$ $$P(A)=\frac{116383+160667}{283176}=\frac{277050}{283176},$$ $$P(M\cap A)=\frac{160667}{283176}.$$ Entonces: $$P(M\cup A)=\frac{164114+277050-160667}{283176}=\frac{280497}{283176}.$$ Resultado: **$\boxed{P(M\cup A)=\dfrac{280497}{283176}\approx 0.9905}$**.

Apartado b) [1,25 puntos] Si el vehículo elegido es un coche, ¿cuál es la probabilidad de que haya resultado no apto? Sea $C$ = “coche” y $N$ = “no apto”. La probabilidad condicionada es: $$P(N\mid C)=\frac{P(N\cap C)}{P(C)}.$$ En recuentos: - $N\cap C$: coches no aptos $=2679$. - $C$: total de coches $=119062$. Entonces: $$P(N\mid C)=\frac{2679}{119062}\approx 0.0225.$$ Resultado: **$\boxed{P(\text{no apto}\mid \text{coche})=\dfrac{2679}{119062}\approx 0.0225}$**.