Probabilidad y Estadística 2025 Andalucia
Probabilidad total y Teorema de Bayes en producción de bolígrafos
EJERCICIO 7. (2,5 puntos)
Una empresa fabrica bolígrafos en tres provincias: Almería, Barcelona y Cáceres. El porcentaje de producción total de bolígrafos que se fabrica en cada provincia es, respectivamente, del 20 %, 50 % y 30 %. Además, el porcentaje de bolígrafos defectuosos en cada una de ellas es del 7 %, 6 % y 2 %, respectivamente.
a) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que un bolígrafo, tomado al azar, sea defectuoso?
b) [1,5 puntos] Si se ha escogido un bolígrafo no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Almería?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidades
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos básicos según el origen del bolígrafo y su estado:
* $A$: El bolígrafo se fabrica en Almería.
* $B$: El bolígrafo se fabrica en Barcelona.
* $C$: El bolígrafo se fabrica en Cáceres.
* $D$: El bolígrafo es defectuoso.
* $\bar{D}$: El bolígrafo no es defectuoso.
A partir del enunciado, tenemos las probabilidades de producción:
$P(A) = 0,20$; $P(B) = 0,50$; $P(C) = 0,30$
Y las probabilidades condicionadas de ser defectuoso según la provincia:
$P(D|A) = 0,07$; $P(D|B) = 0,06$; $P(D|C) = 0,02$
Representamos la situación en un árbol de probabilidades:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de que un bolígrafo sea defectuoso
**a) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que un bolígrafo, tomado al azar, sea defectuoso?**
Para hallar la probabilidad total de que un bolígrafo sea defectuoso, $P(D)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total** sumando las probabilidades de ser defectuoso en cada una de las provincias:
$$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) + P(C) \cdot P(D|C)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(D) = 0,20 \cdot 0,07 + 0,50 \cdot 0,06 + 0,30 \cdot 0,02$$
$$P(D) = 0,014 + 0,030 + 0,006$$
$$P(D) = 0,05$$
💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes (en este caso, las tres provincias).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D) = 0,05 \text{ (es decir, un 5 %)}}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad de origen dado que no es defectuoso
**b) [1,5 puntos] Si se ha escogido un bolígrafo no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Almería?**
Nos piden la probabilidad condicionada $P(A|\bar{D})$. Para ello, utilizaremos el **Teorema de Bayes**.
Primero, calculamos la probabilidad de que un bolígrafo NO sea defectuoso:
$$P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0,05 = 0,95$$
Ahora aplicamos la fórmula de Bayes:
$$P(A|\bar{D}) = \frac{P(A \cap \bar{D})}{P(\bar{D})} = \frac{P(A) \cdot P(\bar{D}|A)}{P(\bar{D})}$$
Sabemos que $P(\bar{D}|A) = 1 - P(D|A) = 1 - 0,07 = 0,93$. Sustituimos:
$$P(A|\bar{D}) = \frac{0,20 \cdot 0,93}{0,95} = \frac{0,186}{0,95}$$
Calculamos el valor decimal:
$$P(A|\bar{D}) = \frac{186}{950} = \frac{93}{475} \approx 0,1958$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la probabilidad condicionada: conocemos $P(\text{estado}|\text{origen})$ y queremos hallar $P(\text{origen}|\text{estado})$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A|\bar{D}) = \frac{93}{475} \approx 0,1958}$$