Geometría: Distancia de punto a recta y plano

**a) [1,25 puntos] Halla la distancia del punto $P$ a la recta $r$.** Para calcular la distancia de un punto a una recta, primero necesitamos determinar un punto $Q_r$ perteneciente a la recta $r$ y su vector director $\vec{v_r}$. La recta viene dada como intersección de dos planos. Podemos obtener su dirección mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$ y $\vec{n_2} = (0, 1, -1)$: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v_r} = (1 \cdot (-1))\vec{i} + (1 \cdot 0)\vec{j} + (1 \cdot 1)\vec{k} - (0 \cdot 1)\vec{i} - (1 \cdot 1)\vec{j} - ((-1) \cdot 1)\vec{k}$$ $$\vec{v_r} = -\vec{i} + \vec{k} - \vec{j} + \vec{k} = -2\vec{i} + \vec{j} + \vec{k} = (-2, 1, 1)$$ Para el punto $Q_r$, damos un valor arbitrario a una variable en el sistema. Si $z = 0$: $$\begin{cases} x + y + 0 = 0 \\ y - 0 = 0 \end{cases} \implies y = 0, \, x = 0.$$ Obtenemos el punto **$Q_r(0, 0, 0)$**. 💡 **Tip:** Un punto sencillo suele ser aquel donde una de las coordenadas es cero. En este caso, al ser un sistema homogéneo, el origen siempre es solución. $$\boxed{Q_r(0, 0, 0), \quad \vec{v_r}(-2, 1, 1)}$$

La fórmula de la distancia de un punto $P$ a una recta $r$ es: $$d(P, r) = \frac{|\vec{v_r} \times \vec{Q_rP}|}{|\vec{v_r}|}$$ Primero calculamos el vector $\vec{Q_rP}$: $$\vec{Q_rP} = P - Q_r = (2, 1, 0) - (0, 0, 0) = (2, 1, 0)$$ Ahora realizamos el producto vectorial $\vec{v_r} \times \vec{Q_rP}$: $$\vec{v_r} \times \vec{Q_rP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos paso a paso: $$\vec{v_r} \times \vec{Q_rP} = (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1)\vec{i} - ((-2) \cdot 0 - 1 \cdot 2)\vec{j} + ((-2) \cdot 1 - 1 \cdot 2)\vec{k}$$ $$\vec{v_r} \times \vec{Q_rP} = -1\vec{i} - (-2)\vec{j} + (-4)\vec{k} = (-1, 2, -4)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el módulo del producto vectorial representa el área del paralelogramo formado por ambos vectores. $$\boxed{\vec{v_r} \times \vec{Q_rP} = (-1, 2, -4)}$$

Calculamos los módulos de los vectores obtenidos: $$|\vec{v_r} \times \vec{Q_rP}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$$ $$|\vec{v_r}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$ Calculamos la distancia: $$d(P, r) = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{21}{6}} = \sqrt{\frac{7}{2}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(P, r) = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \text{ unidades.}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, r) = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,87 \text{ u.}}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y al punto $P$.** Un plano $\pi$ queda determinado por un punto y dos vectores directores no colineales. En este caso: - Punto: $P(2, 1, 0)$. - Vector director 1: $\vec{v_r} = (-2, 1, 1)$. - Vector director 2: $\vec{Q_rP} = (2, 1, 0)$. La ecuación general del plano se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - x_P & y - y_P & z - z_P \\ v_{r1} & v_{r2} & v_{r3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} x - 2 & y - 1 & z - 0 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante por la primera fila: $$(x - 2) \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - (y - 1) \cdot ((-2) \cdot 0 - 1 \cdot 2) + z \cdot ((-2) \cdot 1 - 1 \cdot 2) = 0$$ $$(x - 2)(-1) - (y - 1)(-2) + z(-4) = 0$$ $$-x + 2 + 2y - 2 - 4z = 0$$ $$-x + 2y - 4z = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$x - 2y + 4z = 0$$ 💡 **Tip:** Puedes verificar el resultado comprobando que el punto $P(2,1,0)$ cumple la ecuación: $2 - 2(1) + 4(0) = 0$, lo cual es correcto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi \equiv x - 2y + 4z = 0}$$