Análisis 2025 Andalucia
Reconstrucción de una función a partir de su segunda derivada y dos puntos
EJERCICIO 6. (2,5 puntos)
Halla la función $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ que pasa por los puntos $(2,\,e-2-2\ln(2))$ y $(1,\,0)$, y verifica que
$$f''(x)=e^{x-1}-\frac{1}{x}.$$
Paso 1
Integrar f'' para obtener f'
EJERCICIO 6. (2,5 puntos)
Halla la función $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ que pasa por los puntos $(2,\,e-2-2\ln(2))$ y $(1,\,0)$, y verifica que
$$f''(x)=e^{x-1}-\frac{1}{x}.$$
Integramos una vez:
$$f'(x)=\int\left(e^{x-1}-\frac{1}{x}\right)dx=\int e^{x-1}dx-\int\frac{1}{x}dx.$$
Como
$$\int e^{x-1}dx=e^{x-1},\quad \int\frac{1}{x}dx=\ln(x),$$
queda:
$$f'(x)=e^{x-1}-\ln(x)+C_1.$$
Paso 2
Integrar f' para obtener f
EJERCICIO 6. (2,5 puntos)
Halla la función $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ que pasa por los puntos $(2,\,e-2-2\ln(2))$ y $(1,\,0)$, y verifica que
$$f''(x)=e^{x-1}-\frac{1}{x}.$$
Integramos de nuevo:
$$f(x)=\int\left(e^{x-1}-\ln(x)+C_1\right)dx=e^{x-1}-\int\ln(x)dx+C_1x+C_2.$$
Sabemos que
$$\int\ln(x)dx=x\ln(x)-x,$$
por tanto:
$$-\int\ln(x)dx=-(x\ln(x)-x)=-x\ln(x)+x.$$
Así:
$$f(x)=e^{x-1}-x\ln(x)+x+C_1x+C_2=e^{x-1}-x\ln(x)+(1+C_1)x+C_2.$$
Paso 3
Usar f(1)=0 para una ecuación entre constantes
EJERCICIO 6. (2,5 puntos)
Halla la función $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ que pasa por los puntos $(2,\,e-2-2\ln(2))$ y $(1,\,0)$, y verifica que
$$f''(x)=e^{x-1}-\frac{1}{x}.$$
Usamos el punto $(1,0)$:
$$f(1)=0.$$
Sustituimos $x=1$:
$$0=f(1)=e^{0}-1\cdot\ln(1)+(1+C_1)\cdot 1+C_2=1-0+1+C_1+C_2.$$
Entonces:
$$2+C_1+C_2=0\Rightarrow C_2=-2-C_1.$$
Paso 4
Usar f(2)=e-2-2ln2 para determinar C1 y C2
EJERCICIO 6. (2,5 puntos)
Halla la función $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ que pasa por los puntos $(2,\,e-2-2\ln(2))$ y $(1,\,0)$, y verifica que
$$f''(x)=e^{x-1}-\frac{1}{x}.$$
Usamos el punto $(2,\,e-2-2\ln 2)$:
$$f(2)=e-2-2\ln 2.$$
Sustituimos $x=2$:
$$f(2)=e^{1}-2\ln(2)+(1+C_1)\cdot 2+C_2=e-2\ln 2+2+2C_1+C_2.$$
Igualamos al valor dado $e-2-2\ln 2$ y simplificamos cancelando $e-2\ln 2$:
$$2+2C_1+C_2=-2\Rightarrow 2C_1+C_2=-4.$$
Sustituimos $C_2=-2-C_1$:
$$2C_1+(-2-C_1)=-4\Rightarrow C_1-2=-4\Rightarrow C_1=-2.$$
Entonces:
$$C_2=-2-(-2)=0.$$
Paso 5
Escribir la función final
EJERCICIO 6. (2,5 puntos)
Halla la función $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ que pasa por los puntos $(2,\,e-2-2\ln(2))$ y $(1,\,0)$, y verifica que
$$f''(x)=e^{x-1}-\frac{1}{x}.$$
Sustituimos $C_1=-2$ y $C_2=0$ en
$$f(x)=e^{x-1}-x\ln(x)+(1+C_1)x+C_2.$$
Queda:
$$f(x)=e^{x-1}-x\ln(x)+(1-2)x=e^{x-1}-x\ln(x)-x.$$
Resultado:
$$\boxed{f(x)=e^{x-1}-x\ln(x)-x}.$$