Determinantes y ecuaciones matriciales

**a) [1 punto] Halla razonadamente el determinante de una matriz $X$ que verifica $X^3 AX^2 = B^2$.** Para resolver este apartado, utilizaremos las propiedades de los determinantes. En particular, recordamos que: 1. El determinante del producto de dos matrices es el producto de sus determinantes: $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$. 2. El determinante de una potencia de una matriz es la potencia de su determinante: $|M^k| = |M|^k$. Aplicamos determinantes en ambos lados de la igualdad $X^3 A X^2 = B^2$: $$|X^3 A X^2| = |B^2|$$ $$|X|^3 \cdot |A| \cdot |X|^2 = |B|^2$$ $$|X|^5 \cdot |A| = |B|^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el determinante es un número, por lo que podemos operar con él usando las reglas del álgebra básica.

Calculamos los determinantes de las matrices dadas $A$ y $B$: Para $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$: $$|A| = (2 \cdot 4) - (2 \cdot 3) = 8 - 6 = 2$$ Para $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$: $$|B| = (3 \cdot 2) - (1 \cdot 2) = 6 - 2 = 4$$ Como $|A| \neq 0$ y $|B| \neq 0$, ambas matrices son invertibles, aunque para este apartado solo necesitamos sus valores numéricos.

Sustituimos los valores $|A|=2$ y $|B|=4$ en la ecuación obtenida anteriormente: $$|X|^5 \cdot 2 = 4^2$$ $$2 \cdot |X|^5 = 16$$ $$|X|^5 = \frac{16}{2} = 8$$ Para despejar $|X|$, aplicamos la raíz quinta: $$|X| = \sqrt[5]{8}$$ ✅ **Resultado (determinante de X):** $$\boxed{|X| = \sqrt[5]{8}}$$

**b) [1,5 puntos] Determina, si existe, una matriz $Y$ que verifique $A^3 Y B^{-1} = A^2$.** Para hallar $Y$, debemos despejarla de la ecuación $A^3 Y B^{-1} = A^2$. Como $|A|=2 \neq 0$, existe la matriz inversa $A^{-1}$ y podemos simplificar la expresión: 1. Multiplicamos por $B$ por la derecha en ambos miembros: $$A^3 Y B^{-1} B = A^2 B \implies A^3 Y I = A^2 B \implies A^3 Y = A^2 B$$ 2. Multiplicamos por $(A^2)^{-1}$ por la izquierda en ambos miembros: $$(A^2)^{-1} A^3 Y = (A^2)^{-1} A^2 B \implies A^{-2} A^3 Y = I B \implies A Y = B$$ 3. Finalmente, multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda: $$A^{-1} A Y = A^{-1} B \implies Y = A^{-1} B$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden del producto es fundamental. Si multiplicas por una matriz por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro.

Calculamos $A^{-1}$ usando la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$. Ya sabemos que $|A| = 2$. Calculamos la matriz de adjuntos de $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$: - $Adj_{11} = 4$ - $Adj_{12} = -3$ - $Adj_{21} = -2$ - $Adj_{22} = 2$ La matriz adjunta es $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$. Transponemos la matriz adjunta: $\text{Adj}(A)^T = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$. Entonces: $$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3/2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Ahora realizamos el producto $Y = A^{-1} B$: $$Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3/2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento: - $y_{11} = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 6 - 2 = 4$ - $y_{12} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = 2 - 2 = 0$ - $y_{21} = \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot 3 + 1 \cdot 2 = -\frac{9}{2} + 2 = -\frac{5}{2}$ - $y_{22} = \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot 1 + 1 \cdot 2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$ ✅ **Resultado (matriz Y):** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -5/2 & 1/2 \end{pmatrix}}$$