Geometría en el espacio 2025 Andalucia
Plano que contiene una recta y recta perpendicular a una recta en el espacio
EJERCICIO 5. (2,5 puntos)
Considera el punto $P(1,1,1)$ y la recta
$$r\equiv \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{2}.$$
a) [1 punto] Halla el plano que pasa por el punto $P$ y contiene a la recta $r$.
b) [1,5 puntos] Halla la recta que pasa por el punto $P$ y corta perpendicularmente a la recta $r$.
Paso 1
Escribir la recta r en forma paramétrica y obtener un punto y un director
Apartado a) [1 punto] Halla el plano que pasa por el punto $P$ y contiene a la recta $r$.
De
$$r\equiv \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{2}=t,$$
obtenemos la forma paramétrica:
$$x=1+t,\quad y=2+2t,\quad z=3+2t.$$
Así:
- Un punto de $r$ es $Q(1,2,3)$ (tomando $t=0$).
- Un vector director de $r$ es
$$\vec v=(1,2,2).$$
Paso 2
Apartado a: construir el plano con dos vectores del plano y hallar su normal
Apartado a) [1 punto] Halla el plano que pasa por el punto $P$ y contiene a la recta $r$.
El plano $\pi$ debe contener:
- la dirección $\vec v=(1,2,2)$,
- y también el vector que une un punto de la recta con $P$:
$$\overrightarrow{QP}=P-Q=(1-1,\,1-2,\,1-3)=(0,-1,-2).$$
Un vector normal del plano es el producto vectorial:
$$\vec n=\vec v\times \overrightarrow{QP}=(1,2,2)\times(0,-1,-2).$$
Calculando:
$$\vec n=(2,-2,1)$$
(vector proporcional válido).
Paso 3
Apartado a: ecuación del plano
Apartado a) [1 punto] Halla el plano que pasa por el punto $P$ y contiene a la recta $r$.
Con normal $\vec n=(2,-2,1)$ y pasando por $Q(1,2,3)$:
$$2(x-1)-2(y-2)+1(z-3)=0.$$
Desarrollando:
$$2x-2-2y+4+z-3=0\Rightarrow 2x-2y+z-1=0.$$
Resultado: **$\boxed{2x-2y+z-1=0}$**.
Paso 4
Apartado b: pie de la perpendicular desde P a la recta r
Apartado b) [1,5 puntos] Halla la recta que pasa por el punto $P$ y corta perpendicularmente a la recta $r$.
Buscamos un punto $H$ en $r$ tal que $\overrightarrow{HP}$ sea perpendicular a la dirección de $r$.
Sea $H=r(t)=(1+t,\,2+2t,\,3+2t)$. Entonces:
$$\overrightarrow{HP}=P-H=(1-(1+t),\,1-(2+2t),\,1-(3+2t))=(-t,\,-1-2t,\,-2-2t).$$
La perpendicularidad con $\vec v=(1,2,2)$ exige:
$$\overrightarrow{HP}\cdot \vec v=0.$$
Paso 5
Apartado b: resolver el parámetro y escribir la recta buscada
Apartado b) [1,5 puntos] Halla la recta que pasa por el punto $P$ y corta perpendicularmente a la recta $r$.
Calculamos el producto escalar:
$$(-t)\cdot 1+(-1-2t)\cdot 2+(-2-2t)\cdot 2=0.$$
Desarrollando:
$$-t-2-4t-4-4t=0\Rightarrow -9t-6=0\Rightarrow t=-\frac{2}{3}.$$
Punto de corte:
$$H=r\left(-\frac{2}{3}\right)=\left(1-\frac{2}{3},\,2-\frac{4}{3},\,3-\frac{4}{3}\right)=\left(\frac{1}{3},\,\frac{2}{3},\,\frac{5}{3}\right).$$
Un vector director de la recta perpendicular es
$$\vec d=\overrightarrow{PH}=H-P=\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)\sim (-2,-1,2).$$
Recta pedida (por $P$ y dirección $(-2,-1,2)$):
$$\boxed{\ (x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(-2,-1,2)\ }$$
Equivalente en forma continua:
$$\boxed{\ \frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{2}\ }. $$