Potencias de matrices y propiedades de determinantes

**a) [1,25 puntos] Calcula $A^4$ y $A^{31}$.** Para calcular las potencias de una matriz, primero buscamos un patrón o ciclo calculando las primeras potencias sucesivas $A^2, A^3, A^4...$ Calculamos $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-1 & 0+0 \\ 0+0 & -1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I$$ Ahora calculamos $A^4$ utilizando el resultado anterior: $$A^4 = A^2 \cdot A^2 = (-I) \cdot (-I) = I$$ O lo que es lo mismo: $$A^4 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Cuando una potencia de una matriz da la identidad ($I$), las potencias son cíclicas. En este caso, el ciclo es de orden 4. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{A^4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

Para calcular $A^{31}$, aprovechamos que $A^4 = I$. Dividimos el exponente $31$ entre $4$ para ver cuántos ciclos completos de identidad hay: $$31 = 4 \cdot 7 + 3$$ Esto nos permite descomponer la potencia como: $$A^{31} = A^{4 \cdot 7 + 3} = (A^4)^7 \cdot A^3 = I^7 \cdot A^3 = I \cdot A^3 = A^3$$ Calculamos $A^3$: $$A^3 = A^2 \cdot A = (-I) \cdot A = -A = -\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{A^4 = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^{31} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) [1,25 puntos] Halla razonadamente el determinante de la matriz $4A^{25}(A^t)^4$.** Primero, calculamos el determinante de la matriz original $A$: $$\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0) - (1 \cdot (-1)) = 1$$ Para resolver el determinante solicitado $|4A^{25}(A^t)^4|$, utilizaremos las siguientes propiedades de los determinantes: 1. **Producto por un escalar:** $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$, donde $n$ es el orden de la matriz (en este caso $n=2$). 2. **Producto de matrices:** $|M \cdot P| = |M| \cdot |P|$. 3. **Potencia de una matriz:** $|M^k| = |M|^k$. 4. **Traspuesta de una matriz:** $|M^t| = |M|$. 💡 **Tip:** Es mucho más eficiente aplicar propiedades que calcular la matriz resultante de las operaciones y luego hallar su determinante.

Aplicamos las propiedades mencionadas paso a paso sobre la expresión $|4A^{25}(A^t)^4|$: 1. Sacamos el escalar $4$ fuera del determinante (siendo $A$ una matriz $2 \times 2$): $$|4A^{25}(A^t)^4| = 4^2 \cdot |A^{25}(A^t)^4|$$ 2. Aplicamos la propiedad del producto y de la potencia: $$16 \cdot |A|^{25} \cdot |A^t|^4$$ 3. Aplicamos la propiedad de la traspuesta ($|A^t| = |A|$): $$16 \cdot |A|^{25} \cdot |A|^4 = 16 \cdot |A|^{29}$$ Sustituimos el valor hallado $|A| = 1$: $$16 \cdot (1)^{29} = 16 \cdot 1 = 16$$ ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{\det(4A^{25}(A^t)^4) = 16}$$