Volumen de un tetraedro y distancia de un punto a un plano

**a) [1,25 puntos] Halla los valores de $m$ para que el tetraedro determinado por los puntos $O$, $A$, $B$ y $C$ tenga un volumen de 3 unidades cúbicas.** Como $O=(0,0,0)$ es el origen, los vectores del tetraedro son: $$\overrightarrow{OA}=A-O=(0,2,-2),$$ $$\overrightarrow{OB}=B-O=(1,2,m),$$ $$\overrightarrow{OC}=C-O=(2,3,2).$$ El volumen de un tetraedro formado por tres vectores que salen de un mismo vértice es $$V=\frac{1}{6}\,\left|\det\big(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\big)\right|.$$ En coordenadas, ese determinante se calcula con la matriz cuyas filas (o columnas) son las componentes de $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$: $$V=\frac{1}{6}\left|\det\begin{pmatrix} 0&2&-2\\ 1&2&m\\ 2&3&2 \end{pmatrix}\right|.$$ 💡 **Tip:** Si un vértice es el origen, el determinante sale directamente con las coordenadas de los otros tres puntos.

Calculamos $$D=\det\begin{pmatrix} 0&2&-2\\ 1&2&m\\ 2&3&2 \end{pmatrix}.$$ Desarrollamos por la primera fila: $$D=0\cdot\det\begin{pmatrix}2&m\\3&2\end{pmatrix}-2\cdot\det\begin{pmatrix}1&m\\2&2\end{pmatrix}+(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}.$$ Calculamos cada determinante $2\times 2$: $$\det\begin{pmatrix}1&m\\2&2\end{pmatrix}=1\cdot 2-m\cdot 2=2-2m,$$ $$\det\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}=1\cdot 3-2\cdot 2=3-4=-1.$$ Sustituimos: $$D=-2(2-2m)+(-2)(-1)=(-4+4m)+2=4m-2.$$ Imponemos que el volumen sea $3$: $$\frac{1}{6}|D|=3\ \Longrightarrow\ |D|=18\ \Longrightarrow\ |4m-2|=18.$$ Resolvemos el valor absoluto (dos casos): 1) $$4m-2=18\ \Longrightarrow\ 4m=20\ \Longrightarrow\ m=5.$$ 2) $$4m-2=-18\ \Longrightarrow\ 4m=-16\ \Longrightarrow\ m=-4.$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{m=5\ \text{o}\ m=-4}$$

**b) [1,25 puntos] Para $m = 0$, calcula la distancia del punto $O$ al plano que pasa por los puntos $A$, $B$ y $C$.** Para $m=0$ los puntos son: $$A(0,2,-2),\qquad B(1,2,0),\qquad C(2,3,2).$$ Tomamos dos vectores directores del plano $ABC$: $$\overrightarrow{AB}=B-A=(1,0,2),$$ $$\overrightarrow{AC}=C-A=(2,1,4).$$ Un vector normal al plano es el producto vectorial: $$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.$$ Lo calculamos con un determinante: $$\vec n=\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 1&0&2\\ 2&1&4 \end{vmatrix}.$$ Desarrollando: $$\vec n=\mathbf{i}(0\cdot 4-2\cdot 1)-\mathbf{j}(1\cdot 4-2\cdot 2)+\mathbf{k}(1\cdot 1-0\cdot 2).$$ Calculamos: $$\vec n=\mathbf{i}(-2)-\mathbf{j}(4-4)+\mathbf{k}(1)=(-2,0,1).$$ (Es válido cualquier múltiplo no nulo, por ejemplo $(2,0,-1)$).

Usamos como normal $\vec n=(-2,0,1)$ y el punto $A(0,2,-2)$. Ecuación punto-normal del plano: $$(-2,0,1)\cdot\big((x,y,z)-(0,2,-2)\big)=0.$$ Es decir: $$-2(x-0)+0(y-2)+1\big(z-(-2)\big)=0$$ $$-2x+z+2=0.$$ (Equivalentemente, multiplicando por $-1$: $2x-z-2=0$). Distancia de un punto $P(x_0,y_0,z_0)$ al plano $ax+by+cz+d=0$: $$d(P,\pi)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$ Aquí, para $-2x+0y+1z+2=0$ tenemos $a=-2$, $b=0$, $c=1$, $d=2$ y $O=(0,0,0)$: $$d(O,\pi)=\frac{|(-2)\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 0+2|}{\sqrt{(-2)^2+0^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{d=\frac{2}{\sqrt{5}}u}$$