Rectas tangente y normal. Monotonía de una función logarítmica

**a) [1,5 puntos] Calcula $a \neq 0$ de forma que en el punto $(a, f(a))$ la recta normal a la gráfica de la función $f$ sea paralela a la recta tangente a la gráfica de $g$ en el punto $(a, g(a))$.** En primer lugar, calculamos las derivadas de ambas funciones, ya que las pendientes de las rectas tangente y normal dependen de ellas. Para $f(x) = \ln\left(\frac{x^2}{e}\right)$, podemos simplificar usando propiedades de los logaritmos: $$f(x) = \ln(x^2) - \ln(e) = 2\ln|x| - 1$$ Derivamos: $$f'(x) = \frac{2}{x}$$ Para $g(x) = x^3 + 2$: $$g'(x) = 3x^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ y que $(\ln(u))' = u'/u$. Simplificar antes de derivar suele facilitar el cálculo.

La pendiente de la recta tangente a $g$ en $x=a$ es $m_{T,g} = g'(a) = 3a^2$. La pendiente de la recta normal a $f$ en $x=a$ es la inversa opuesta de la pendiente de su tangente: $$m_{N,f} = -\frac{1}{f'(a)} = -\frac{1}{2/a} = -\frac{a}{2}$$ Para que dos rectas sean paralelas, sus pendientes deben ser iguales: $$m_{N,f} = m_{T,g} \implies -\frac{a}{2} = 3a^2$$ 💡 **Tip:** Dos rectas son paralelas si $m_1 = m_2$. La pendiente de la normal es $m_n = -1/f'(a)$.

Resolvemos la ecuación resultante: $$-a = 6a^2 \implies 6a^2 + a = 0$$ Factorizamos: $$a(6a + 1) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $a = 0$ (Descartada por el enunciado, ya que $a \neq 0$ y $0$ no está en el dominio de $f$). 2. $6a + 1 = 0 \implies a = -\frac{1}{6}$ Como $a = -1/6 \approx -0,166...$ pertenece al dominio dado $(-1, 0) \cup (0, 1)$, es la solución válida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -\frac{1}{6}}$$

**b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$.** La función $f(x) = \ln\left(\frac{x^2}{e}\right)$ está definida, según el enunciado, en el dominio $D = (-1, 0) \cup (0, 1)$. Su derivada es $f'(x) = \frac{2}{x}$. Para estudiar la monotonía, buscamos los puntos críticos donde $f'(x) = 0$: $$\frac{2}{x} = 0 \implies \text{No tiene solución}$$ La función no tiene puntos críticos. El único punto donde la derivada podría cambiar de signo es $x=0$, que es un punto de discontinuidad (fuera del dominio). 💡 **Tip:** Los intervalos de monotonía cambian en los puntos donde la derivada es cero o donde la función no está definida.

Analizamos el signo de $f'(x) = \frac{2}{x}$ en los intervalos del dominio: $$\begin{array}{c|cc} x & (-1, 0) & (0, 1) \\ \hline f'(x) & - & + \\ \hline f(x) & \searrow & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo **$(-1, 0)$**: Si tomamos $x = -0,5$, entonces $f'(-0,5) = 2/(-0,5) = -4 < 0$. La función es **decreciente**. - En el intervalo **$(0, 1)$**: Si tomamos $x = 0,5$, entonces $f'(0,5) = 2/(0,5) = 4 > 0$. La función es **creciente**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente en } (-1, 0) \text{ y Creciente en } (0, 1)}$$