Asíntota horizontal, monotonía y extremos relativos

**a) [1 punto] Calcula $a$ para que $y = 1$ sea una asíntota horizontal de la gráfica de $f$.** Una recta horizontal $y=L$ es una asíntota horizontal de $f$ en $+\infty$ si $$\lim_{x\to +\infty} f(x)=L.$$ Aquí $$f(x)=a+\frac{\ln(x)}{x^2},$$ así que estudiaremos el límite cuando $x\to +\infty$. 💡 **Tip:** En una suma $a+g(x)$, si $g(x)\to 0$ entonces la asíntota horizontal es directamente $y=a$.

Calculamos $$\lim_{x\to +\infty}\left(a+\frac{\ln(x)}{x^2}\right)=a+\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}.$$ Para el segundo límite, es una indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$ y podemos usar L'Hôpital: $$\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{2x^2}=0.$$ Por tanto, $$\lim_{x\to +\infty} f(x)=a+0=a.$$ Para que la asíntota horizontal sea $y=1$, necesitamos $a=1$. 💡 **Tip:** Si no quieres usar L'Hôpital, recuerda que $x^k$ (con $k>0$) crece mucho más rápido que $\ln(x)$, así que $\dfrac{\ln(x)}{x^2}\to 0$. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{a=1}$$

**b) [1,5 puntos] Para $a = 0$, calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. Estudia y halla los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Si $a=0$, la función queda $$f(x)=\frac{\ln(x)}{x^2}=\ln(x)\,x^{-2},\qquad x\gt 0.$$ Derivamos usando la regla del producto: $$f'(x)=(\ln x)'\,x^{-2}+\ln(x)\,(x^{-2})'.$$ Como $$(\ln x)'=\frac{1}{x},\qquad (x^{-2})'=-2x^{-3},$$ obtenemos $$f'(x)=\frac{1}{x}x^{-2}+\ln(x)(-2x^{-3})=x^{-3}\bigl(1-2\ln(x)\bigr).$$ 💡 **Tip:** Es muy útil dejar $f'(x)$ factorizada (aquí $x^{-3}(1-2\ln x)$), porque el signo se estudia mucho más fácil.

En el dominio $x\gt 0$ se cumple $x^{-3}\gt 0$, así que el signo de $f'(x)$ depende solo de $$1-2\ln(x).$$ Buscamos puntos críticos resolviendo $f'(x)=0$: $$1-2\ln(x)=0\ \Rightarrow\ \ln(x)=\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ x=e^{1/2}=\sqrt{e}.$$ Estudio de signo: - Si $0\lt x\lt \sqrt{e}$, entonces $\ln(x)\lt \frac{1}{2}$ y por tanto $1-2\ln(x)\gt 0$, luego $f'(x)\gt 0$. - Si $x\gt \sqrt{e}$, entonces $\ln(x)\gt \frac{1}{2}$ y por tanto $1-2\ln(x)\lt 0$, luego $f'(x)\lt 0$. 💡 **Tip:** En productos del tipo $x^{-3}(\cdots)$, primero decide el signo del factor “fácil” ($x^{-3}\gt 0$ en $x\gt 0$) y céntrate en el otro. ✅ Monotonía: $$\boxed{\text{$f$ crece en $(0,\sqrt{e})$ y decrece en $(\sqrt{e},+\infty)$.}}$$

Como $f'(x)$ pasa de positiva a negativa en $x=\sqrt{e}$, en ese punto hay un **máximo relativo**. Calculamos su valor: $$f(\sqrt{e})=\frac{\ln(\sqrt{e})}{(\sqrt{e})^2}.$$ Como $$\ln(\sqrt{e})=\ln(e^{1/2})=\frac{1}{2},\qquad (\sqrt{e})^2=e,$$ queda $$f(\sqrt{e})=\frac{\frac{1}{2}}{e}=\frac{1}{2e}.$$ 💡 **Tip:** Regla práctica: si $f'$ cambia de $+$ a $-$ hay máximo; si cambia de $-$ a $+$ hay mínimo. ✅ Extremos relativos: - Máximo relativo en $$\boxed{x=\sqrt{e}},$$ con valor $$\boxed{f(\sqrt{e})=\frac{1}{2e}}.$$ No hay mínimo relativo.

En el interactivo: - Se dibuja la función del **apartado a)** con $a=1$: $y=1+\dfrac{\ln(x)}{x^2}$ y su asíntota horizontal $y=1$. - Se dibuja la función del **apartado b)** con $a=0$: $y=\dfrac{\ln(x)}{x^2}$ y se marca el máximo relativo en $\left(\sqrt{e},\,\dfrac{1}{2e}\right)$. 💡 **Tip:** Sumar una constante $a$ a una función solo la desplaza verticalmente; por eso la asíntota horizontal pasa a ser $y=a$ cuando $x\to +\infty$.