Límite con parámetro para que sea finito

**(2,5 puntos) Sabiendo que $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)-ax+2-2\cos(x)}{e^x-x\cos(x)-1}$$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite.** Llamamos $$N(x)=\sin(x)-ax+2-2\cos(x),\qquad D(x)=e^x-x\cos(x)-1.$$ Comprobamos qué pasa al sustituir $x=0$: - Numerador: $$N(0)=\sin(0)-a\cdot 0+2-2\cos(0)=0-0+2-2\cdot 1=0.$$ - Denominador: $$D(0)=e^0-0\cdot\cos(0)-1=1-0-1=0.$$ Luego $$\lim_{x\to 0}\frac{N(x)}{D(x)}$$ es una indeterminación de tipo $$\frac{0}{0}.$$ Como $N$ y $D$ son derivables en un entorno de $0$, podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**.

Aplicamos L'Hôpital: $$\lim_{x\to 0}\frac{N(x)}{D(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{N'(x)}{D'(x)},$$ siempre que sigamos en indeterminación. Derivamos numerador y denominador: - Derivada del numerador: $$N'(x)=(\sin x)'- (ax)'+(2)'-\big(2\cos x\big)'=\cos x-a+2\sin x.$$ - Derivada del denominador: $$D'(x)=(e^x)'-\big(x\cos x\big)'-(1)'=e^x-\big(\cos x-x\sin x\big)=e^x-\cos x+x\sin x.$$ Ahora evaluamos en $x=0$: $$N'(0)=\cos 0-a+2\sin 0=1-a+0=1-a,$$ $$D'(0)=e^0-\cos 0+0\cdot\sin 0=1-1+0=0.$$ Si $1-a\ne 0$, entonces $N'(x)\to 1-a\ne 0$ y $D'(x)\to 0$, y el cociente se comportaría como $$\frac{\text{constante}\ne 0}{0},$$ por lo que el límite **no sería finito**. Para que el límite sea finito necesitamos que siga siendo indeterminación $\frac{0}{0}$ tras la primera derivada, es decir: $$1-a=0\quad\Rightarrow\quad a=1.$$ ✅ **Valor del parámetro:** $$\boxed{a=1}$$

Con $a=1$, el límite queda: $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)-x+2-2\cos(x)}{e^x-x\cos(x)-1}.$$ Tras la primera aplicación de L'Hôpital: $$\lim_{x\to 0}\frac{N(x)}{D(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{N'(x)}{D'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1+2\sin x}{e^x-\cos x+x\sin x}.$$ Comprobamos de nuevo en $0$: $$\cos 0-1+2\sin 0=1-1+0=0,$$ $$e^0-\cos 0+0\cdot\sin 0=1-1+0=0,$$ seguimos con $\frac{0}{0}$, así que aplicamos L'Hôpital otra vez: $$\lim_{x\to 0}\frac{N'(x)}{D'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{N''(x)}{D''(x)}.$$ Derivamos: - Segunda derivada del numerador: $$N''(x)=(\cos x)'+(2\sin x)'=-\sin x+2\cos x.$$ - Segunda derivada del denominador: $$D''(x)=(e^x)'-(-\cos x)'+(x\sin x)'=e^x+\sin x+\big(\sin x+x\cos x\big)=e^x+2\sin x+x\cos x.$$ Evaluamos en $x=0$: $$N''(0)=-\sin 0+2\cos 0=0+2\cdot 1=2,$$ $$D''(0)=e^0+2\sin 0+0\cdot\cos 0=1+0+0=1.$$ Por tanto: $$\lim_{x\to 0}\frac{N(x)}{D(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{N''(x)}{D''(x)}=\frac{N''(0)}{D''(0)}=\frac{2}{1}=2.$$ ✅ **Resultados finales:** $$\boxed{a=1}$$ $$\boxed{\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)-ax+2-2\cos(x)}{e^x-x\cos(x)-1}=2}$$