Continuidad, derivabilidad y extremos absolutos de una función con valor absoluto

**a) [1,25 puntos] Estudia la continuidad y derivabilidad de la función $f$.** Debido a la presencia del valor absoluto $|x|$, la función se comporta de manera distinta según el signo de $x$. Recordamos que $|x| = x$ si $x \ge 0$ y $|x| = -x$ si $x < 0$. Definimos $f(x)$ a trozos dentro de su dominio $(-1, 1)$: $$f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{(1+x)^2} & \text{si } -1 < x < 0, \\ \dfrac{1}{(1-x)^2} & \text{si } 0 \le x < 1. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Al quitar un valor absoluto, siempre revisa los intervalos resultantes y cómo afectan a los signos dentro de los paréntesis.

Analizamos la continuidad en cada tramo y en el punto de división $x=0$: 1. **En los intervalos $(-1, 0)$ y $(0, 1)$:** La función está definida por funciones racionales cuyos denominadores se anulan en $x=-1$ y $x=1$ respectivamente. Como estos puntos están en los extremos del dominio y no dentro de los intervalos abiertos, la función es **continua** en $(-1, 0) \cup (0, 1)$. 2. **En $x = 0$:** - Valor de la función: $f(0) = \frac{1}{(1-0)^2} = 1$. - Límite por la izquierda: $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{(1+x)^2} = 1$. - Límite por la derecha: $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{(1-x)^2} = 1$. Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$, la función es **continua en $x = 0$**. Por tanto, $f$ es continua en todo su dominio $(-1, 1)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f \text{ es continua en } (-1, 1)}$$

Calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 0$: - Si $x \in (-1, 0)$, $f(x) = (1+x)^{-2} \implies f'(x) = -2(1+x)^{-3} = \dfrac{-2}{(1+x)^3}$. - Si $x \in (0, 1)$, $f(x) = (1-x)^{-2} \implies f'(x) = -2(1-x)^{-3}(-1) = \dfrac{2}{(1-x)^3}$. Estudiamos las **derivadas laterales en $x = 0$**: - $f'(0^-) = \displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{-2}{(1+x)^3} = -2$. - $f'(0^+) = \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{(1-x)^3} = 2$. Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función **no es derivable en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en él y luego sus derivadas laterales deben coincidir. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f \text{ es derivable en } (-1, 0) \cup (0, 1)}$$

**b) [1,25 puntos] Halla, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Para hallar los extremos absolutos, analizamos el signo de $f'(x)$ y el comportamiento en los extremos del dominio $(-1, 1)$. Calculamos los puntos críticos: - $f'(x) = 0$: No tiene solución en ninguna de las dos ramas. - Punto de no derivabilidad: $x = 0$. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-1, 0) & 0 & (0, 1)\\ \hline f'(x) & - & \nexists & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array} $$ - En $(-1, 0)$, $f'(x) < 0$ (ya que $(1+x)^3 > 0$), por lo que la función es **decreciente**. - En $(0, 1)$, $f'(x) > 0$ (ya que $(1-x)^3 > 0$), por lo que la función es **creciente**. 💡 **Tip:** El signo de la derivada nos indica si la función crece ($+$) o decrece ($-$). Si hay un cambio de decreciente a creciente en un punto continuo, tenemos un mínimo.

Analizamos los límites en los bordes del dominio: - $\displaystyle \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty$. - $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty$. Como la función tiende a $+\infty$ en ambos extremos del dominio abierto $(-1, 1)$, **no existe máximo absoluto**. Dado que la función es continua en su dominio, decrece hasta $x=0$ y luego crece, el valor mínimo se alcanza en $x=0$. El valor del mínimo es: $$f(0) = 1.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo absoluto en } x = 0 \text{ con valor } f(0) = 1. \text{ No existe máximo absoluto.}}$$