Sistema de ecuaciones en un problema de precios y descuentos

**a) [1,25 puntos] ¿Es posible determinar de forma única el precio del jersey? ¿Y el de la camisa? Razona la respuesta.** Sea: - $J$: precio del jersey (en euros). - $C$: precio de la camisa (en euros). - $P$: precio del pantalón (en euros). Del enunciado obtenemos dos relaciones: 1) Total pagado: $$J+C+P=80.$$ 2) “El precio del jersey es un tercio del precio de la camisa y el pantalón juntos”: $$J=\frac{1}{3}(C+P)\quad\Longleftrightarrow\quad 3J=C+P.$$

Tenemos **3 incógnitas** $(J,C,P)$ pero, por ahora, solo **2 ecuaciones**, así que no podemos esperar que se determinen las 3 de forma única. Aun así, puede ocurrir que alguna (por ejemplo $J$) sí quede fijada. Usamos $C+P=3J$ en la ecuación del total: $$J+(C+P)=80\ \Rightarrow\ J+3J=80\ \Rightarrow\ 4J=80\ \Rightarrow\ J=20.$$ Entonces $$C+P=3J=60.$$ Conclusión: - El jersey **sí** queda determinado de forma única: $$\boxed{J=20\,\text{€}}.$$ - La camisa **no** queda determinada de forma única, porque solo sabemos que $C+P=60$. Por ejemplo, $(C,P)=(25,35)$ o $(30,30)$ cumplen la condición, y hay infinitas parejas posibles.

**b) [1,25 puntos] Si Juan hubiera esperado a las rebajas se habría gastado $57\,\text{€}$, pues el jersey, la camisa y el pantalón tenían un descuento del $30\%$, del $40\%$ y del $20\%$, respectivamente. Calcula el precio de cada prenda antes de las rebajas.** Con descuentos, se paga el porcentaje restante: - Jersey: paga el $70\%$ $\Rightarrow$ paga $\frac{7}{10}J$. - Camisa: paga el $60\%$ $\Rightarrow$ paga $\frac{3}{5}C$. - Pantalón: paga el $80\%$ $\Rightarrow$ paga $\frac{4}{5}P$. La condición “en rebajas paga $57\,\text{€}$” se traduce en: $$\frac{7}{10}J+\frac{3}{5}C+\frac{4}{5}P=57.$$ Además, de la parte (a) ya sabemos: $$J=20\quad\text{y}\quad C+P=60.$$

Sustituimos $J=20$ en la ecuación de rebajas: $$\frac{7}{10}\cdot 20+\frac{3}{5}C+\frac{4}{5}P=57.$$ Como $\frac{7}{10}\cdot 20=14$, queda: $$14+\frac{3}{5}C+\frac{4}{5}P=57\ \Rightarrow\ \frac{3}{5}C+\frac{4}{5}P=43.$$ Multiplicamos por $5$ para eliminar denominadores: $$3C+4P=215.$$ Junto con $C+P=60$, tenemos el sistema en $C$ y $P$: $$\begin{cases} C+P=60,\\ 3C+4P=215. \end{cases}$$ Eliminamos $C$: - Multiplicamos la primera ecuación por $3$: $$3C+3P=180.$$ - Restamos a la segunda: $$(3C+4P)-(3C+3P)=215-180\ \Rightarrow\ P=35.$$ Entonces: $$C=60-P=60-35=25.$$ ✅ Precios antes de las rebajas: $$\boxed{J=20\,\text{€}},\quad \boxed{C=25\,\text{€}},\quad \boxed{P=35\,\text{€}}.$$