Cálculo de una primitiva racional con condición inicial

Para integrar una función racional donde el grado del numerador es mayor o igual al del denominador, el primer paso es realizar la división polinómica. Dividimos $x^3 + 1$ entre $x^2 + 1$: $$ \begin{array}{r|l} x^3 + 0x^2 + 0x + 1 & x^2 + 1 \\ \hline -(x^3 + x) \phantom{00000} & x \\ \hline -x + 1 \phantom{00000} & \end{array} $$ De la división obtenemos el cociente $C(x) = x$ y el resto $R(x) = -x + 1$. Por la propiedad de la división: $$\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$$ Sustituyendo nuestros valores: $$f(x) = x + \frac{-x + 1}{x^2 + 1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el grado del numerador es $\ge$ que el del denominador, siempre debes empezar dividiendo para simplificar la integral.

Buscamos la familia de primitivas $F(x) = \int f(x) \, dx$. Utilizando la expresión obtenida en el paso anterior: $$F(x) = \int \left( x + \frac{-x + 1}{x^2 + 1} \right) dx$$ Por la propiedad de linealidad de la integral, podemos separarla en tres partes: $$F(x) = \int x \, dx - \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx + \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx$$ 💡 **Tip:** Separar la fracción $\frac{-x+1}{x^2+1}$ en $\frac{-x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1}$ es fundamental, ya que la primera parte será de tipo logarítmico y la segunda de tipo arcotangente.

Resolvemos cada una de las integrales por separado: 1. $\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$ 2. Para $\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx$, buscamos que el numerador sea la derivada del denominador, $(x^2+1)' = 2x$. Multiplicamos y dividimos por 2: $$\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1)$$ (No es necesario el valor absoluto ya que $x^2 + 1$ siempre es positivo). 3. $\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan(x)$ Sumando todos los resultados, la primitiva general es: $$\boxed{F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + \arctan(x) + C}$$ 💡 **Tip:** Recuerda las integrales inmediatas: - $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ - $\int \frac{u'}{u} dx = \ln|u|$ - $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x)$

El enunciado indica que la gráfica de la primitiva debe pasar por el punto $(0, 5)$, lo que significa que $F(0) = 5$. Sustituimos $x = 0$ en nuestra expresión de $F(x)$ e igualamos a 5: $$F(0) = \frac{0^2}{2} - \frac{1}{2} \ln(0^2 + 1) + \arctan(0) + C = 5$$ Calculamos los valores: - $\frac{0}{2} = 0$ - $\ln(1) = 0$ - $\arctan(0) = 0$ Por tanto: $$0 - 0 + 0 + C = 5 \implies C = 5$$ La primitiva específica que buscamos es: $$\boxed{F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + \arctan(x) + 5}$$ 💡 **Tip:** Siempre que te den un punto $(x_0, y_0)$, se traduce en la condición $F(x_0) = y_0$ para hallar el valor de la constante de integración.