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Probabilidad y Estadística 2025 Andalucia

Probabilidad condicionada con tipos de café

EJERCICIO 7. (2,5 puntos) Se hace un estudio sobre el café que se consume en la cafetería de una estación. Según el tipo de taza tenemos tres opciones: expreso, medio y americano; con porcentajes, respectivamente, de 29 %, 51 % y 20 %. Por otra parte, también sabemos que el café puede ser de la variedad que tiene cafeína o ser descafeinado. En concreto, las tazas de café con cafeína presentan, para cada uno de los tipos de taza establecidos antes, los porcentajes 18 %, 31 % y 11 %, respectivamente. a) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona adquiera un café expreso descafeinado? b) [1,75 puntos] Si sabemos que el café es descafeinado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un expreso?
Paso 1
Árbol de probabilidades, sucesos y datos del problema
Expreso Medio Americano 0.29 0.51 0.20 Cafeína Descafeinado 0.18 0.82 Cafeína Descafeinado 0.31 0.69 Cafeína Descafeinado 0.11 0.89
Primer nivel: tipo de taza. Segundo nivel: $C$ (cafeína) o $D$ (descafeinado) condicionados al tipo.
Definimos los sucesos: - $E$: “la taza es expreso”, - $M$: “la taza es medio”, - $A$: “la taza es americano”, - $C$: “el café tiene cafeína”, - $D$: “el café es descafeinado”. Los porcentajes de tipo de taza son: $$P(E)=0.29,\qquad P(M)=0.51,\qquad P(A)=0.20.$$ Los porcentajes “con cafeína” para cada tipo (probabilidades condicionadas al tipo de taza) son: $$P(C\mid E)=0.18,\qquad P(C\mid M)=0.31,\qquad P(C\mid A)=0.11.$$ Como para cada tipo solo hay dos opciones (cafeína o descafeinado), $D$ es el complementario de $C$: $$P(D\mid E)=1-P(C\mid E)=1-0.18=0.82,$$ $$P(D\mid M)=1-P(C\mid M)=1-0.31=0.69,$$ $$P(D\mid A)=1-P(C\mid A)=1-0.11=0.89.$$
Paso 2
Calcular $P(E\cap D)$ con la regla del producto
**a) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona adquiera un café expreso descafeinado?** “Expreso descafeinado” significa el suceso $E\cap D$. Por la regla del producto: $$P(E\cap D)=P(E)\,P(D\mid E).$$ Sustituimos: $$P(E\cap D)=0.29\cdot 0.82.$$ Calculamos: $$0.29\cdot 0.82=0.2378.$$ ✅ Resultado: $$\boxed{P(E\cap D)=0.2378}\qquad (\text{es decir, }\boxed{23.78\%})$$
Paso 3
Calcular $P(D)$ con la fórmula de la probabilidad total
Para poder calcular una probabilidad condicionada del tipo $P(E\mid D)$ necesitaremos $P(D)$. Aplicamos la fórmula de la probabilidad total, usando que $\{E,M,A\}$ es un sistema completo: $$P(D)=P(E)P(D\mid E)+P(M)P(D\mid M)+P(A)P(D\mid A).$$ Sustituimos: $$P(D)=0.29\cdot 0.82+0.51\cdot 0.69+0.20\cdot 0.89.$$ Calculamos cada término: $$0.29\cdot 0.82=0.2378,$$ $$0.51\cdot 0.69=0.3519,$$ $$0.20\cdot 0.89=0.1780.$$ Sumamos: $$P(D)=0.2378+0.3519+0.1780=0.7677.$$
Paso 4
Aplicar Bayes para obtener $P(E\mid D)$
**b) [1,75 puntos] Si sabemos que el café es descafeinado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un expreso?** Por definición de probabilidad condicionada: $$P(E\mid D)=\frac{P(E\cap D)}{P(D)}.$$ Ya tenemos: $$P(E\cap D)=0.2378,\qquad P(D)=0.7677.$$ Sustituimos: $$P(E\mid D)=\frac{0.2378}{0.7677}\approx 0.3098.$$ En porcentaje: $$0.3098\cdot 100\%\approx 30.98\%.$$ ✅ Resultado: $$\boxed{P(E\mid D)\approx 0.3098}\qquad (\text{es decir, }\boxed{\approx 30.98\%})$$
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