Simetría respecto a un plano y plano perpendicular

**a) [1,5 puntos] Calcula el punto simétrico del punto $A$ con respecto al plano $\pi$.** Para hallar el punto simétrico $A'$ de $A(1, 2, 0)$ respecto al plano $\pi \equiv x + y + z + 1 = 0$, primero calculamos la recta $r$ que es perpendicular a $\pi$ y pasa por $A$. El vector normal del plano $\pi$ es $\vec{n_\pi} = (1, 1, 1)$. Como la recta $r$ es perpendicular al plano, el vector director de la recta $\vec{v_r}$ será el mismo que el vector normal del plano: $$\vec{v_r} = \vec{n_\pi} = (1, 1, 1)$$ La ecuación paramétrica de la recta $r$ que pasa por $A(1, 2, 0)$ es: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, su vector director coincide con el vector normal del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, que es $\vec{n} = (A, B, C)$.

El punto $M$ (proyección ortogonal de $A$ sobre $\pi$) es el punto de intersección entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Sustituimos las coordenadas de la recta en la ecuación del plano: $$(1 + \lambda) + (2 + \lambda) + (\lambda) + 1 = 0$$ Operamos para hallar $\lambda$: $$3\lambda + 4 = 0 \implies 3\lambda = -4 \implies \lambda = -\frac{4}{3}$$ Ahora calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda$ en la recta $r$: $$x_M = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$$ $$y_M = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$$ $$z_M = -\frac{4}{3}$$ Por tanto, el punto de intersección es $M\left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{4}{3}\right)$. 💡 **Tip:** El punto $M$ es el punto medio entre $A$ y su simétrico $A'$.

El punto $M$ es el punto medio del segmento $AA'$. Si llamamos $A'(x', y', z')$, se debe cumplir: $$M = \frac{A + A'}{2} \implies \left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{1 + x'}{2}, \frac{2 + y'}{2}, \frac{0 + z'}{2}\right)$$ Igualamos componente a componente: 1. $-\frac{1}{3} = \frac{1 + x'}{2} \implies -\frac{2}{3} = 1 + x' \implies x' = -\frac{5}{3}$ 2. $\frac{2}{3} = \frac{2 + y'}{2} \implies \frac{4}{3} = 2 + y' \implies y' = \frac{4}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{2}{3}$ 3. $-\frac{4}{3} = \frac{z'}{2} \implies z' = -\frac{8}{3}$ ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{A'\left(-\frac{5}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{8}{3}\right)}$$

**b) [1 punto] Halla el plano que contiene a los puntos $A$ y $B$ y es perpendicular al plano $\pi$.** Sea $\alpha$ el plano buscado. Para determinar su ecuación necesitamos un punto y dos vectores directores (o el vector normal). 1. **Punto:** Usamos $A(1, 2, 0)$. 2. **Primer vector director:** Como el plano contiene a $A$ y $B$, el vector $\vec{AB}$ está contenido en el plano: $$\vec{u} = \vec{AB} = B - A = (3-1, 1-2, 0-0) = (2, -1, 0)$$ 3. **Segundo vector director:** Como $\alpha$ es perpendicular a $\pi$, el vector normal de $\pi$, $\vec{n_\pi} = (1, 1, 1)$, es paralelo al plano $\alpha$: $$\vec{v} = \vec{n_\pi} = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Si dos planos son perpendiculares, el vector normal de uno de ellos puede usarse como vector director del otro (siempre que no sea paralelo al primer vector director elegido).

La ecuación del plano $\alpha$ se obtiene mediante el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los vectores hallados: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 2 & z - 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante por la primera fila (o mediante la regla de Sarrus): $$(x - 1) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - (y - 2) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + z \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x - 1)(-1 - 0) - (y - 2)(2 - 0) + z(2 - (-1)) = 0$$ $$-1(x - 1) - 2(y - 2) + 3z = 0$$ $$-x + 1 - 2y + 4 + 3z = 0$$ $$-x - 2y + 3z + 5 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener una expresión más estética: $$x + 2y - 3z - 5 = 0$$ ✅ **Resultado (plano):** $$\boxed{x + 2y - 3z - 5 = 0}$$