Simetría respecto a un plano y plano perpendicular

**a) [1,5 puntos] Calcula el punto simétrico del punto $A$ con respecto al plano $\pi$.** Para reflejar $A$ respecto al plano $\pi$, usamos esta propiedad geométrica: - El segmento $AA'$ es **perpendicular** al plano $\pi$. - El punto $H=AA'\cap\pi$ es el **punto medio** de $AA'$. El plano $$\pi: x+y+z+1=0$$ tiene vector normal $$\vec n_{\pi}=(1,1,1).$$ Por tanto, la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $A(1,2,0)$ es $$r:\ (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,1,1).$$ 💡 **Tip:** En una simetría respecto a un plano, primero busca el punto $H$ de la perpendicular desde el punto al plano; luego “repites” la misma distancia al otro lado.

Hallamos $H=r\cap\pi$ sustituyendo la recta en el plano. De $r$: $$x=1+t,\quad y=2+t,\quad z=t.$$ Imponemos que $(x,y,z)$ pertenezca a $\pi$: $$(1+t)+(2+t)+t+1=0\ \Rightarrow\ 4+3t=0\ \Rightarrow\ t=-\frac{4}{3}.$$ Entonces $$H=\left(1-\frac{4}{3},\ 2-\frac{4}{3},\ 0-\frac{4}{3}\right)=\left(-\frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ -\frac{4}{3}\right).$$ Como $H$ es el **punto medio** de $AA'$, se cumple $$\overrightarrow{HA'}=-\overrightarrow{HA}.$$ En coordenadas esto equivale a $$A'=H+(H-A)=2H-A.$$ Calculamos: $$2H=\left(-\frac{2}{3},\ \frac{4}{3},\ -\frac{8}{3}\right),$$ $$A'=2H-A=\left(-\frac{2}{3}-1,\ \frac{4}{3}-2,\ -\frac{8}{3}-0\right)=\left(-\frac{5}{3},\ -\frac{2}{3},\ -\frac{8}{3}\right).$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{A'\left(-\dfrac{5}{3},-\dfrac{2}{3},-\dfrac{8}{3}\right)}$$

**b) [1 punto] Halla el plano que contiene a los puntos $A$ y $B$ y es perpendicular al plano $\pi$.** Queremos un plano $\alpha$ que: 1) Contenga a $A$ y $B$ (por tanto contiene la recta $AB$). 2) Sea perpendicular a $\pi$. El vector director de la recta $AB$ es $$\vec v=\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,\ 1-2,\ 0-0)=(2,-1,0).$$ Un vector normal del plano $\pi$ es $$\vec n_{\pi}=(1,1,1).$$ Si $\alpha$ contiene a la recta $AB$, entonces su normal $\vec n_{\alpha}$ debe ser perpendicular a $\vec v$: $$\vec n_{\alpha}\cdot \vec v=0.$$ Y si $\alpha\perp\pi$, entonces sus normales son perpendiculares: $$\vec n_{\alpha}\cdot \vec n_{\pi}=0.$$ 💡 **Tip:** Un vector perpendicular a **dos** vectores se obtiene con un producto vectorial.

Tomamos un vector perpendicular a $\vec n_{\pi}$ y a $\vec v$ mediante el producto vectorial: $$\vec n_{\alpha}=\vec n_{\pi}\times \vec v=(1,1,1)\times(2,-1,0).$$ Calculamos por componentes: $$\vec n_{\alpha}=\big(1\cdot 0-1\cdot(-1),\ 1\cdot 2-1\cdot 0,\ 1\cdot(-1)-1\cdot 2\big)=(1,2,-3).$$ Con normal $(1,2,-3)$ y pasando por $A(1,2,0)$, ecuación punto-normal: $$1(x-1)+2(y-2)-3(z-0)=0.$$ Simplificamos: $$x-1+2y-4-3z=0\ \Rightarrow\ x+2y-3z-5=0.$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{x+2y-3z-5=0}$$