Álgebra 2025 Andalucia
Determinantes con operaciones por filas y permutaciones
EJERCICIO 5. (2,5 puntos)
Sabiendo que
$$\begin{vmatrix}
a&b&c\\
x&y&z\\
u&v&w
\end{vmatrix}=1,$$
calcula razonadamente:
a) [1,5 puntos]
$$\begin{vmatrix}
a+x&b+y&c+z\\
a&b&c\\
2a+u&2b+v&2c+w
\end{vmatrix}.$$
b) [1 punto]
$$\begin{vmatrix}
z&c&w\\
x&a&u\\
y&b&v
\end{vmatrix}.$$
Paso 1
Determinante de referencia y propiedades a usar
Se nos da:
$$D=\begin{vmatrix}
a&b&c\\
x&y&z\\
u&v&w
\end{vmatrix}=1.$$
Propiedades que usaremos:
- **Sustituir una fila/columna por ella misma más un múltiplo de otra** (por ejemplo $F_i\leftarrow F_i+kF_j$) **no cambia** el determinante.
- **Intercambiar dos filas/columnas** cambia el signo del determinante.
- **Trasponer** un determinante **no cambia** su valor.
- Dos intercambios sucesivos (permutación par) no cambian el signo.
Paso 2
Simplificar el determinante del apartado a) con operaciones por filas
**a) [1,5 puntos] Calcula:**
$$\begin{vmatrix}
a+x&b+y&c+z\\
a&b&c\\
2a+u&2b+v&2c+w
\end{vmatrix}.$$
Partimos del determinante pedido:
$$A=\begin{vmatrix}
a+x&b+y&c+z\\
a&b&c\\
2a+u&2b+v&2c+w
\end{vmatrix}.$$
1) Operación por filas: $F_3\leftarrow F_3-2F_2$ (no cambia el determinante):
$$A=\begin{vmatrix}
a+x&b+y&c+z\\
a&b&c\\
u&v&w
\end{vmatrix}.$$
2) Operación por filas: $F_1\leftarrow F_1-F_2$ (no cambia el determinante):
$$A=\begin{vmatrix}
x&y&z\\
a&b&c\\
u&v&w
\end{vmatrix}.$$
Paso 3
Relacionar con el determinante dado mediante intercambio de filas
Ahora comparamos con
$$D=\begin{vmatrix}
a&b&c\\
x&y&z\\
u&v&w
\end{vmatrix}=1.$$
El determinante
$$\begin{vmatrix}
x&y&z\\
a&b&c\\
u&v&w
\end{vmatrix}$$
se obtiene de $D$ **intercambiando $F_1$ y $F_2$**, por lo que cambia el signo:
$$\begin{vmatrix}
x&y&z\\
a&b&c\\
u&v&w
\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}
a&b&c\\
x&y&z\\
u&v&w
\end{vmatrix}=-1.$$
✅ **Resultado (apartado a):**
$$\boxed{-1}$$
Paso 4
Transformar el determinante del apartado b) desde el determinante dado
**b) [1 punto] Calcula:**
$$\begin{vmatrix}
z&c&w\\
x&a&u\\
y&b&v
\end{vmatrix}.$$
Partimos de
$$D=\begin{vmatrix}
a&b&c\\
x&y&z\\
u&v&w
\end{vmatrix}=1.$$
1) Permutación de columnas para colocar el orden $(C_3,C_1,C_2)$.
Se puede hacer con **dos intercambios**:
- Intercambiamos $C_2\leftrightarrow C_3$ (cambia signo):
$$\begin{vmatrix}
a&c&b\\
x&z&y\\
u&w&v\end{vmatrix}=-D.$$
- Intercambiamos $C_1\leftrightarrow C_2$ (vuelve a cambiar signo):
$$\begin{vmatrix}
c&a&b\\
z&x&y\\
w&u&v\end{vmatrix}=-(-D)=D.$$
Por tanto,
$$\begin{vmatrix}
c&a&b\\
z&x&y\\
w&u&v\end{vmatrix}=D=1.$$
2) Trasponemos (no cambia el valor):
$$\begin{vmatrix}
c&z&w\\
a&x&u\\
b&y&v\end{vmatrix}=1.$$
3) Intercambiamos las columnas $C_1\leftrightarrow C_2$ (cambia el signo):
$$\begin{vmatrix}
z&c&w\\
x&a&u\\
y&b&v\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}
c&z&w\\
a&x&u\\
b&y&v\end{vmatrix}=-1.$$
✅ **Resultado (apartado b):**
$$\boxed{-1}$$