Cálculo de determinantes aplicando propiedades

**a) [1,5 puntos] $\begin{vmatrix} a + x & b + y & c + z \\ a & b & c \\ 2a + u & 2b + v & 2c + w \end{vmatrix}$.** Para resolver este determinante, aplicaremos propiedades de los determinantes para transformarlo en el determinante original dado. En primer lugar, observamos que en la primera fila tenemos la suma de los elementos de la segunda fila ($a, b, c$). Podemos restar la segunda fila a la primera sin que el valor del determinante varíe ($F_1 \to F_1 - F_2$): $$\begin{vmatrix} a + x & b + y & c + z \\ a & b & c \\ 2a + u & 2b + v & 2c + w \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 2a + u & 2b + v & 2c + w \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz no varía si a una fila se le suma o resta una combinación lineal de las demás filas.

A continuación, simplificamos la tercera fila. Observamos que contiene los elementos de la segunda fila multiplicados por 2 ($2a, 2b, 2c$). Restamos a la tercera fila el doble de la segunda ($F_3 \to F_3 - 2F_2$): $$\begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 2a + u & 2b + v & 2c + w \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ u & v & w \end{vmatrix}$$ Con esta operación, hemos eliminado los términos que dependen de $a, b, c$ en la tercera fila.

El determinante resultante es casi igual al enunciado, pero las dos primeras filas están intercambiadas. Al intercambiar dos filas entre sí ($F_1 \leftrightarrow F_2$), el determinante cambia de signo: $$\begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ u & v & w \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ u & v & w \end{vmatrix}$$ Como sabemos por el enunciado que el determinante original vale $1$: $$- \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ u & v & w \end{vmatrix} = -1$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{-1}$$

**b) [1 punto] $\begin{vmatrix} z & c & w \\ x & a & u \\ y & b & v \end{vmatrix}$.** En este apartado, los elementos están distribuidos de forma diferente. Intentaremos reordenarlos usando propiedades de filas, columnas y la traspuesta. Primero, intercambiamos la primera y la segunda columna ($C_1 \leftrightarrow C_2$). Esto cambia el signo del determinante: $$\begin{vmatrix} z & c & w \\ x & a & u \\ y & b & v \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} c & z & w \\ a & x & u \\ b & y & v \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al igual que con las filas, si intercambiamos dos columnas de un determinante, su valor cambia de signo.

Ahora, para acercarnos a la estructura original, intercambiamos la primera fila con la segunda ($F_1 \leftrightarrow F_2$), lo que introduce otro cambio de signo (volviendo a ser positivo): $$- \begin{vmatrix} c & z & w \\ a & x & u \\ b & y & v \end{vmatrix} = + \begin{vmatrix} a & x & u \\ c & z & w \\ b & y & v \end{vmatrix}$$ Luego, intercambiamos la segunda y tercera fila ($F_2 \leftrightarrow F_3$), cambiando el signo de nuevo: $$\begin{vmatrix} a & x & u \\ c & z & w \\ b & y & v \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a & x & u \\ b & y & v \\ c & z & w \end{vmatrix}$$ Finalmente, aplicamos la propiedad de la traspuesta. Sabemos que $|M| = |M^t|$. Si trasponemos esta matriz: $$- \begin{vmatrix} a & x & u \\ b & y & v \\ c & z & w \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ u & v & w \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz es idéntico al determinante de su matriz traspuesta.

Sustituimos el valor del determinante dado en el enunciado ($1$): $$- \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ u & v & w \end{vmatrix} = -1$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{-1}$$