Potencias y matriz inversa de una matriz 3x3

**a) [1,5 puntos] Comprueba que $A^3 + I = O$, siendo $I$ la matriz identidad y $O$ la matriz nula. Calcula $A^{-1}$.** Para comprobar la igualdad $A^3 + I = O$, primero necesitamos calcular $A^2$ y posteriormente $A^3$. Calculamos $A^2 = A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}$$ Las operaciones fila por columna han sido: - $c_{11} = 0(0) + 3(1) + 4(-1) = -1$ - $c_{12} = 0(3) + 3(-4) + 4(3) = 0$ - $c_{13} = 0(4) + 3(-5) + 4(4) = 1$ - $c_{21} = 1(0) - 4(1) - 5(-1) = 1$ - $c_{22} = 1(3) - 4(-4) - 5(3) = 3 + 16 - 15 = 4$ - $c_{23} = 1(4) - 4(-5) - 5(4) = 4 + 20 - 20 = 4$ - $c_{31} = -1(0) + 3(1) + 4(-1) = -1$ - $c_{32} = -1(3) + 3(-4) + 4(3) = -3 - 12 + 12 = -3$ - $c_{33} = -1(4) + 3(-5) + 4(4) = -4 - 15 + 16 = -3$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices se multiplica cada elemento de la fila de la primera por el correspondiente de la columna de la segunda y se suman los resultados.

Ahora calculamos $A^3 = A^2 \cdot A$: $$A^3 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Como podemos observar, el resultado es la matriz identidad multiplicada por $-1$, es decir, $A^3 = -I$. Finalmente, comprobamos la condición del enunciado: $$A^3 + I = -I + I = O$$ Donde $O$ es la matriz nula de orden 3. La igualdad queda demostrada. ✅ **Resultado (comprobación):** $$\boxed{A^3 + I = O}$$ 💡 **Tip:** Si una matriz cumple $A^k = \pm I$, se dice que es una matriz de potencias cíclicas, lo que simplifica mucho los cálculos posteriores.

Para calcular $A^{-1}$, en lugar de usar determinantes o el método de Gauss-Jordan, aprovecharemos la expresión anterior $A^3 + I = O$. Partimos de la igualdad: $$A^3 = -I$$ Multiplicamos por $-1$ en ambos lados: $$-A^3 = I \implies A \cdot (-A^2) = I$$ Por la definición de matriz inversa ($A \cdot A^{-1} = I$), deducimos que: $$A^{-1} = -A^2$$ Como ya hemos calculado $A^2$ en el paso 1, simplemente cambiamos el signo a todos sus elementos: $$A^{-1} = -\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}}$$

**b) [1 punto] Calcula $A^{2025}$.** Sabemos por el apartado anterior que $A^3 = -I$. Para calcular una potencia elevada, buscamos expresar el exponente en función del ciclo que hemos hallado. Dividimos el exponente $2025$ entre $3$: $$2025 = 3 \cdot 675$$ Por tanto, podemos escribir: $$A^{2025} = (A^3)^{675}$$ Sustituimos $A^3 = -I$: $$A^{2025} = (-I)^{675}$$ Como el exponente $675$ es un número **impar**, el signo negativo se mantiene y la identidad elevada a cualquier potencia sigue siendo la identidad: $$A^{2025} = - (I^{675}) = -I$$ Es decir: $$A^{2025} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(-1)^n$ es $1$ si $n$ es par y $-1$ si $n$ es impar. Además, la matriz identidad es el elemento neutro del producto: $I^n = I$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A^{2025} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}$$