Álgebra 2025 Andalucia
Potencias de una matriz: $A^3=-I$, inversa y $A^{2025}$
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Considera la matriz
$$A=\begin{pmatrix}
0&3&4\\
1&-4&-5\\
-1&3&4
\end{pmatrix}.$$
a) [1,5 puntos] Comprueba que $A^3+I=O$, siendo $I$ la matriz identidad y $O$ la matriz nula. Calcula $A^{-1}$.
b) [1 punto] Calcula $A^{2025}$.
Paso 1
Calcular $A^2$
**a) [1,5 puntos] Comprueba que $A^3+I=O$, siendo $I$ la matriz identidad y $O$ la matriz nula. Calcula $A^{-1}$.**
Partimos de
$$A=\begin{pmatrix}
0&3&4\\
1&-4&-5\\
-1&3&4
\end{pmatrix}.$$
Calculamos $A^2=A\cdot A$ multiplicando filas por columnas.
**Fila 1** $(0,3,4)$:
$$
\begin{aligned}
(1,1)&=0\cdot 0+3\cdot 1+4\cdot(-1)=3-4=-1,\\
(1,2)&=0\cdot 3+3\cdot(-4)+4\cdot 3=-12+12=0,\\
(1,3)&=0\cdot 4+3\cdot(-5)+4\cdot 4=-15+16=1.
\end{aligned}
$$
**Fila 2** $(1,-4,-5)$:
$$
\begin{aligned}
(2,1)&=1\cdot 0+(-4)\cdot 1+(-5)\cdot(-1)=-4+5=1,\\
(2,2)&=1\cdot 3+(-4)\cdot(-4)+(-5)\cdot 3=3+16-15=4,\\
(2,3)&=1\cdot 4+(-4)\cdot(-5)+(-5)\cdot 4=4+20-20=4.
\end{aligned}
$$
**Fila 3** $(-1,3,4)$:
$$
\begin{aligned}
(3,1)&=(-1)\cdot 0+3\cdot 1+4\cdot(-1)=3-4=-1,\\
(3,2)&=(-1)\cdot 3+3\cdot(-4)+4\cdot 3=-3-12+12=-3,\\
(3,3)&=(-1)\cdot 4+3\cdot(-5)+4\cdot 4=-4-15+16=-3.
\end{aligned}
$$
Por tanto,
$$\boxed{A^2=\begin{pmatrix}
-1&0&1\\
1&4&4\\
-1&-3&-3
\end{pmatrix}}$$
💡 **Tip:** Para no perderte, calcula una fila completa antes de pasar a la siguiente.
Paso 2
Calcular $A^3$ y comprobar $A^3+I=O$
Ahora calculamos
$$A^3=A^2\cdot A.$$
Multiplicamos $A^2$ por $A$.
**Fila 1** $(-1,0,1)$:
$$
\begin{aligned}
(1,1)&=(-1)\cdot 0+0\cdot 1+1\cdot(-1)=-1,\\
(1,2)&=(-1)\cdot 3+0\cdot(-4)+1\cdot 3=0,\\
(1,3)&=(-1)\cdot 4+0\cdot(-5)+1\cdot 4=0.
\end{aligned}
$$
**Fila 2** $(1,4,4)$:
$$
\begin{aligned}
(2,1)&=1\cdot 0+4\cdot 1+4\cdot(-1)=0,\\
(2,2)&=1\cdot 3+4\cdot(-4)+4\cdot 3=3-16+12=-1,\\
(2,3)&=1\cdot 4+4\cdot(-5)+4\cdot 4=4-20+16=0.
\end{aligned}
$$
**Fila 3** $(-1,-3,-3)$:
$$
\begin{aligned}
(3,1)&=(-1)\cdot 0+(-3)\cdot 1+(-3)\cdot(-1)=0,\\
(3,2)&=(-1)\cdot 3+(-3)\cdot(-4)+(-3)\cdot 3=-3+12-9=0,\\
(3,3)&=(-1)\cdot 4+(-3)\cdot(-5)+(-3)\cdot 4=-4+15-12=-1.
\end{aligned}
$$
Luego,
$$A^3=\begin{pmatrix}
-1&0&0\\
0&-1&0\\
0&0&-1
\end{pmatrix}=-I.$$
Así,
$$A^3+I=-I+I=O,$$
queda comprobado.
💡 **Tip:** Si al multiplicar sale una diagonal, revisa si coincide con $\pm I$ (suele simplificar muchísimo las potencias).
Paso 3
Deducir $A^{-1}$ a partir de $A^3=-I$
De $A^3=-I$, multiplicamos a la derecha por $A^{-1}$:
$$A^3A^{-1}=-IA^{-1}.$$
Como $A^3A^{-1}=A^2$ e $IA^{-1}=A^{-1}$, obtenemos:
$$A^2=-A^{-1}\quad\Rightarrow\quad A^{-1}=-A^2.$$
Sustituyendo el valor de $A^2$ hallado:
$$A^{-1}=-\begin{pmatrix}
-1&0&1\\
1&4&4\\
-1&-3&-3
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1&0&-1\\
-1&-4&-4\\
1&3&3
\end{pmatrix}.$$
$$\boxed{A^{-1}=\begin{pmatrix}
1&0&-1\\
-1&-4&-4\\
1&3&3
\end{pmatrix}}$$
💡 **Tip:** Si consigues una relación del tipo $A^k=\lambda I$, puedes despejar $A^{-1}$ sin determinantes.
Paso 4
Calcular $A^{2025}$ usando periodicidad
**b) [1 punto] Calcula $A^{2025}$.**
Como $A^3=-I$, entonces
$$A^6=(A^3)^2=(-I)^2=I.$$
Por tanto, las potencias de $A$ se repiten módulo $6$.
Dividimos $2025$ entre $6$:
$$2025=6\cdot 337+3.$$
Así,
$$A^{2025}=A^{6\cdot 337+3}=(A^6)^{337}\,A^3=I^{337}\,A^3=A^3=-I.$$
✅ **Resultado (apartado b):**
$$\boxed{A^{2025}=-I}$$
💡 **Tip:** Cuando aparece un exponente grande, busca primero si hay una potencia pequeña que valga $I$ (como aquí $A^6=I$).