Puntos de corte y área entre dos curvas

**a) [1 punto] Halla los puntos de corte (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de las gráficas de $f$ y $g$. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.** Los puntos de corte se obtienen resolviendo $f(x)=g(x)$: $$x^3-x=-x^2+1.$$ Pasamos todo al mismo lado: $$x^3+x^2-x-1=0.$$ Factorizamos por agrupación: $$x^3+x^2-x-1=x^2(x+1)-1(x+1)=(x+1)(x^2-1).$$ Y como $x^2-1=(x-1)(x+1)$: $$x^3+x^2-x-1=(x+1)^2(x-1).$$ Entonces: $$(x+1)^2(x-1)=0\ \Rightarrow\ x=-1\ (\text{raíz doble})\ \text{o}\ x=1.$$ Ahora calculamos la ordenada (valor de $y$) en cada abscisa: - Para $x=-1$: $$f(-1)=(-1)^3-(-1)=-1+1=0,\qquad g(-1)=-(-1)^2+1=-1+1=0.$$ - Para $x=1$: $$f(1)=1-1=0,\qquad g(1)=-1+1=0.$$ ✅ **Abscisas de corte:** $$\boxed{x=-1\ \text{y}\ x=1}$$ ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(-1,0)\ \text{y}\ (1,0)}$$

Para esbozar el recinto y preparar el área, debemos saber cuál función queda por encima en el intervalo entre los cortes $[-1,1]$. Estudiamos el signo de $g(x)-f(x)$: $$g(x)-f(x)=(-x^2+1)-(x^3-x)=-x^3-x^2+x+1.$$ Usamos la factorización obtenida antes: $$x^3+x^2-x-1=(x+1)^2(x-1)\ \Rightarrow\ g(x)-f(x)=-(x+1)^2(x-1)=(1-x)(x+1)^2.$$ En el intervalo $[-1,1]$ se cumple: - $(x+1)^2\ge 0$ siempre, - $1-x\ge 0$ porque $x\le 1$. Por tanto, $$g(x)-f(x)\ge 0\ \text{en}\ [-1,1],$$ y solo vale $0$ en $x=-1$ y $x=1$. ✅ Conclusión: $$\boxed{g(x)\ge f(x)\ \text{en}\ [-1,1]\ \Rightarrow\ g\ \text{está arriba y}\ f\ \text{abajo}}$$ 💡 **Tip (esbozo rápido):** $g(x)=-x^2+1$ es una parábola cóncava hacia abajo con vértice en $(0,1)$ y corta al eje $x$ en $x=\pm 1$. La cúbica $f(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)$ corta al eje $x$ en $x=-1,0,1$. El recinto acotado queda entre ambas curvas desde $x=-1$ hasta $x=1$.

**b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto acotado y limitado por las gráficas de $f$ y $g$.** Como el recinto está comprendido entre los puntos de corte $x=-1$ y $x=1$, y $g$ queda por encima de $f$ en ese intervalo, el área es: $$A=\int_{-1}^{1}\big(g(x)-f(x)\big)\,dx.$$ Sustituyendo $f$ y $g$: $$A=\int_{-1}^{1}\left[(-x^2+1)-(x^3-x)\right]dx=\int_{-1}^{1}(-x^3-x^2+x+1)\,dx.$$ 💡 **Tip:** En áreas entre curvas: $$\text{Área}=\int_{a}^{b} (\text{arriba} - \text{abajo})\,dx,$$ con $a$ y $b$ las abscisas de corte.

Calculamos $$A=\int_{-1}^{1}(-x^3-x^2+x+1)\,dx.$$ Una primitiva es: $$F(x)=\int(-x^3-x^2+x+1)\,dx=-\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x.$$ Aplicamos la **regla de Barrow**: $$A=F(1)-F(-1).$$ Evaluamos: - En $x=1$: $$F(1)=-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+1 =\frac{-3-4+6+12}{12}=\frac{11}{12}.$$ - En $x=-1$: $$F(-1)=-\frac{1}{4}-\frac{(-1)^3}{3}+\frac{1}{2}-1 =-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-1 =\frac{-3+4+6-12}{12}=-\frac{5}{12}.$$ Entonces: $$A=\frac{11}{12}-\left(-\frac{5}{12}\right)=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}.$$ ✅ **Área del recinto:** $$\boxed{A=\frac{4}{3}}$$ 💡 **Tip (atajo útil aquí):** En $\int_{-1}^{1}(-x^3-x^2+x+1)dx$, los términos impares ($-x^3$ y $x$) integran $0$ en $[-1,1]$, y queda $\int_{-1}^{1}(1-x^2)dx$, que también da $\frac{4}{3}$.

En el interactivo se representan las curvas $y=f(x)=x^3-x$ y $y=g(x)=-x^2+1$, los puntos de corte y la región entre ambas en el intervalo $[-1,1]$.