Área limitada por una curva cúbica y una parábola

**a) [1 punto] Halla los puntos de corte (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de las gráficas de $f$ y $g$. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.** Para hallar los puntos de corte entre las dos gráficas, igualamos sus expresiones: $$f(x) = g(x) \implies x^3 - x = -x^2 + 1$$ Agrupamos todos los términos en un miembro para obtener una ecuación polinómica: $$x^3 + x^2 - x - 1 = 0$$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ son las soluciones de la ecuación $f(x) - g(x) = 0$.

Para resolver $x^3 + x^2 - x - 1 = 0$, podemos utilizar la regla de Ruffini o intentar factorizar por agrupación de términos: $$(x^3 + x^2) - (x + 1) = 0 \implies x^2(x + 1) - 1(x + 1) = 0$$ $$(x^2 - 1)(x + 1) = 0$$ $$(x - 1)(x + 1)(x + 1) = 0 \implies (x - 1)(x + 1)^2 = 0$$ Las soluciones (abscisas de corte) son: - $x_1 = 1$ - $x_2 = -1$ (raíz doble) Como $x = -1$ es una raíz doble, las gráficas son **tangentes** en ese punto. $$\boxed{x = 1, \quad x = -1}$$

Para obtener los puntos completos $(x, y)$, sustituimos los valores de $x$ en cualquiera de las dos funciones originales (usaremos $g(x) = -x^2 + 1$ por ser más sencilla): Para $x = 1$: $$g(1) = -(1)^2 + 1 = 0 \implies P_1(1, 0)$$ Para $x = -1$: $$g(-1) = -(-1)^2 + 1 = -1 + 1 = 0 \implies P_2(-1, 0)$$ ✅ **Resultado (puntos de corte):** $$\boxed{P_1(1, 0) \quad \text{y} \quad P_2(-1, 0)}$$

Para realizar el esbozo, tenemos en cuenta: 1. $f(x) = x^3 - x$ es una función polinómica de tercer grado que pasa por $(-1,0), (0,0)$ y $(1,0)$. 2. $g(x) = -x^2 + 1$ es una parábola cóncava hacia abajo con vértice en $(0, 1)$ y cortes con el eje $X$ en $(-1,0)$ y $(1,0)$. En el intervalo $(-1, 1)$, evaluamos un punto intermedio, por ejemplo $x=0$, para ver qué función queda por encima: - $f(0) = 0$ - $g(0) = 1$ Como $g(0) \gt f(0)$, la parábola está por encima de la curva cúbica en todo el recinto. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = x^3 - x", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x) = -x^2 + 1", "color": "#ef4444" }, { "id": "area", "latex": "x^3 - x \\le y \\le -x^2 + 1 \\left\{-1 \\le x \\le 1\\right\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 2, "bottom": -1.5, "top": 2 } } }

**b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto acotado y limitado por las gráficas de $f$ y $g$.** El área del recinto delimitado por dos funciones se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones (la superior menos la inferior) entre los puntos de corte hallados. Como en el intervalo $[-1, 1]$ se cumple que $g(x) \ge f(x)$: $$A = \int_{-1}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx$$ $$A = \int_{-1}^{1} [(-x^2 + 1) - (x^3 - x)] \, dx$$ $$A = \int_{-1}^{1} (-x^3 - x^2 + x + 1) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si al integrar obtienes un valor negativo, es posible que hayas invertido el orden de las funciones.

Calculamos la integral indefinida: $$\int (-x^3 - x^2 + x + 1) \, dx = -\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en los límites $[-1, 1]$: $$A = \left[ -\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{1}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=1$): $$F(1) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{-3 - 4 + 6 + 12}{12} = \frac{11}{12}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=-1$): $$F(-1) = -\frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + (-1) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 1 = \frac{-3 + 4 + 6 - 12}{12} = -\frac{5}{12}$$ Restamos los resultados: $$A = F(1) - F(-1) = \frac{11}{12} - \left( -\frac{5}{12} \right) = \frac{11}{12} + \frac{5}{12} = \frac{16}{12}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 4: $$A = \frac{4}{3} \approx 1,33 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{A = \dfrac{4}{3} \text{ u}^2}$$