Integral definida con cambio de variable

Calcula $$\int_{\sqrt{3}}^{2}\frac{4x}{x^4-6x^2+10}\,dx.$$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t=x^2-3$). Tomamos el cambio sugerido: $$t=x^2-3.$$ Derivamos para relacionar diferenciales: $$dt=2x\,dx.$$ Como en la integral aparece $4x\,dx$, lo expresamos en función de $dt$: $$4x\,dx=2\,(2x\,dx)=2\,dt.$$ 💡 **Tip:** En un cambio de variable, intenta siempre “fabricar” exactamente el diferencial $dt$ que aparece al derivar.

Reescribimos el denominador: $$x^4-6x^2+10=(x^2)^2-6x^2+10.$$ Completamos cuadrado en $x^2$: $$(x^2-3)^2=x^4-6x^2+9\quad\Rightarrow\quad x^4-6x^2+10=(x^2-3)^2+1.$$ Como $t=x^2-3$, resulta: $$x^4-6x^2+10=t^2+1.$$ 💡 **Tip:** Cuando aparece un polinomio en $x^2$, suele funcionar completar el cuadrado en $x^2$ para que aparezca $(x^2-3)$.

Cambiamos los límites usando $t=x^2-3$. - Si $x=\sqrt{3}$: $$t=(\sqrt{3})^2-3=3-3=0.$$ - Si $x=2$: $$t=2^2-3=4-3=1.$$ Por tanto, en la variable $t$ la integral irá de $0$ a $1$. 💡 **Tip:** En integrales definidas, si cambias la variable, es muy recomendable cambiar también los límites para no volver a $x$ al final.

Sustituyendo $4x\,dx=2\,dt$ y $x^4-6x^2+10=t^2+1$, queda: $$\int_{\sqrt{3}}^{2}\frac{4x}{x^4-6x^2+10}\,dx =\int_{0}^{1}\frac{2}{t^2+1}\,dt.$$ Calculamos la integral (primitiva conocida): $$\int \frac{1}{1+t^2}\,dt=\arctan(t).$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$\int_{0}^{1}\frac{2}{t^2+1}\,dt=2\big[\arctan(t)\big]_{0}^{1}=2\left(\arctan(1)-\arctan(0)\right).$$ Como $\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}$ y $\arctan(0)=0$: $$2\left(\frac{\pi}{4}-0\right)=\frac{\pi}{2}.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\displaystyle \int_{\sqrt{3}}^{2}\frac{4x}{x^4-6x^2+10}\,dx=\frac{\pi}{2}}$$