Integral definida con cambio de variable

Para resolver la integral definida $\int_{\sqrt{3}}^{2} \frac{4x}{x^4 - 6x^2 + 10} dx$, utilizaremos la sugerencia proporcionada: el cambio de variable **$t = x^2 - 3$**. En primer lugar, calculamos la derivada para obtener el diferencial $dt$: $$t = x^2 - 3 \implies dt = 2x \, dx$$ Observamos que en el numerador de nuestra integral tenemos $4x \, dx$, por lo que podemos ajustarlo convenientemente: $$4x \, dx = 2 \cdot (2x \, dx) = 2 \, dt$$ 💡 **Tip:** Siempre que realices un cambio de variable en una integral definida, tienes dos opciones: cambiar los límites de integración o deshacer el cambio al final. Cambiar los límites suele ser más directo y evita errores al final.

Calculamos los nuevos límites de integración para la variable $t$ sustituyendo los valores de $x$ en la expresión $t = x^2 - 3$: - **Límite inferior:** Si $x = \sqrt{3}$, entonces: $$t = (\sqrt{3})^2 - 3 = 3 - 3 = 0$$ - **Límite superior:** Si $x = 2$, entonces: $$t = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$$ Por tanto, la integral se evaluará ahora entre **$0$** y **$1$** en la variable $t$.

Necesitamos transformar el denominador $x^4 - 6x^2 + 10$ para que dependa únicamente de $t$. Sabemos que $t = x^2 - 3$, por lo que $t^2$ es: $$t^2 = (x^2 - 3)^2 = x^4 - 6x^2 + 9$$ Si comparamos esta expresión con nuestro denominador: $$x^4 - 6x^2 + 10 = (x^4 - 6x^2 + 9) + 1 = t^2 + 1$$ Ahora podemos reescribir la integral completa en términos de $t$: $$\int_{\sqrt{3}}^{2} \frac{4x}{x^4 - 6x^2 + 10} dx = \int_{0}^{1} \frac{2}{t^2 + 1} dt$$

La integral resultante es inmediata, ya que corresponde a la función arcotangente: $$\int_{0}^{1} \frac{2}{t^2 + 1} dt = 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{t^2 + 1} dt = \left[ 2 \arctan(t) \right]_{0}^{1}$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites superior e inferior: $$\left[ 2 \arctan(t) \right]_{0}^{1} = 2 \arctan(1) - 2 \arctan(0)$$ Recordamos los valores notables de la arcotangente: - $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ (ya que $\tan(\pi/4) = 1$) - $\arctan(0) = 0$ (ya que $\tan(0) = 0$) Sustituimos: $$2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} \right) - 2 \cdot (0) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que si $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$, entonces $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{\pi}{2}}$$