Derivabilidad y extremos absolutos de una función a trozos

**a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de $f$.** Como $f$ está definida a trozos, el único punto donde puede fallar la continuidad (y, por tanto, la derivabilidad) es en el salto $x=1$. Comprobamos continuidad en $x=1$: - Límite por la izquierda (primer tramo $f(x)=1-e^x$): $$\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-}(1-e^x)=1-e^1=1-e.$$ - Valor en $x=1$ (segundo tramo $f(x)=2x-1-e$): $$f(1)=2\cdot 1-1-e=1-e.$$ Como $$\lim_{x\to 1^-} f(x)=f(1),$$ la función es **continua en $x=1$** (y por tanto continua en todo $[0,2]$). 💡 **Tip:** Para estudiar derivabilidad en un salto, primero verifica continuidad; si no es continua, entonces seguro que no es derivable.

Derivamos en cada intervalo: Si $0\le x<1$, $f(x)=1-e^x$ y $$f'(x)=-(e^x).$$ Si $1\lt x\le 2$, $f(x)=2x-1-e$ y $$f'(x)=2.$$ Por tanto, la derivada (en los puntos donde existe) queda: $$f'(x)=\begin{cases} \,-e^x & \text{si } 0\le x<1,\\ 2 & \text{si } 1\lt x\le 2. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En funciones a trozos, cada rama se deriva “normalmente”, y luego se estudia el salto con derivadas laterales.

Calculamos las derivadas laterales en $x=1$: - Derivada por la izquierda: $$f'_-(1)=\lim_{x\to 1^-}(-e^x)=-e.$$ - Derivada por la derecha: $$f'_+(1)=\lim_{x\to 1^+}2=2.$$ Como $f'_-(1)\ne f'_+(1)$, **$f$ no es derivable en $x=1$**. ✅ **Conclusión (apartado a):** $$\boxed{\text{$f$ es derivable en }(0,1)\cup(1,2)\text{ y no es derivable en }x=1}$$ 💡 **Tip:** En un salto, si las derivadas laterales no coinciden, hay “esquina” y no hay derivabilidad.

**b) [1,5 puntos] Halla los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Como $f$ es continua en el intervalo cerrado $[0,2]$, por Weierstrass **alcanza** máximo y mínimo absolutos. Para encontrarlos, miramos candidatos: - Extremos del intervalo: $x=0$ y $x=2$. - Puntos interiores donde $f'(x)=0$. - Puntos donde $f'$ no existe (aquí, el salto $x=1$). Estudiamos el signo de la derivada en cada tramo: - En $(0,1)$, $f'(x)=-e^x<0$ $\Rightarrow$ $f$ es **decreciente**. - En $(1,2)$, $f'(x)=2>0$ $\Rightarrow$ $f$ es **creciente**. Tabla de signos de $f'(x)$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0,1) & 1 & (1,2)\\ \hline f'(x) & - & \text{no existe} & + \end{array} $$ Además, no hay puntos con $f'(x)=0$ dentro de los tramos (porque $-e^x\neq 0$ y $2\neq 0$). Por tanto, los únicos candidatos son: $$\boxed{x=0,\ 1,\ 2}$$ 💡 **Tip:** En extremos absolutos sobre $[a,b]$, siempre evalúa en $a$, $b$ y en los puntos críticos (incluidos los no derivables).

Calculamos los valores en los candidatos: - En $x=0$ (primer tramo): $$f(0)=1-e^0=1-1=0.$$ - En $x=1$: $$f(1)=2\cdot 1-1-e=1-e.$$ - En $x=2$: $$f(2)=2\cdot 2-1-e=3-e.$$ Comparamos: - $1-e<0$ (porque $e>1$). - $3-e>0$ (porque $e\approx 2{,}718<3$). - Además $3-e>0=f(0)$. ✅ **Resultados (apartado b):** $$\boxed{\text{Mínimo absoluto en }x=1\text{ y }f(1)=1-e}$$ $$\boxed{\text{Máximo absoluto en }x=2\text{ y }f(2)=3-e}$$

En el interactivo se observa que: - La función es continua en $x=1$ (las dos ramas se unen). - Hay cambio brusco de pendiente en $x=1$ (no derivabilidad). - El mínimo absoluto se alcanza en $x=1$ y el máximo absoluto en $x=2$.