Derivabilidad y extremos absolutos de función a trozos

**a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de $f$.** Antes de estudiar la derivabilidad, debemos analizar la continuidad de la función en el intervalo $[0, 2]$. Las ramas que definen la función son una exponencial y un polinomio, que son continuas en sus respectivos dominios. El único punto donde podría haber un salto entre ramas es en $x = 1$. Calculamos los límites laterales en $x = 1$: - Límite por la izquierda ($x \to 1^-$): $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (1 - e^x) = 1 - e^1 = 1 - e$$ - Límite por la derecha ($x \to 1^+$) y valor de la función $f(1)$: $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2(1) - 1 - e = 2 - 1 - e = 1 - e$$ Como $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$, la función **es continua en $x = 1$** y, por tanto, en todo su dominio $[0, 2]$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, es condición necesaria que primero sea continua en dicho punto.

Una vez confirmada la continuidad, calculamos la derivada en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} -e^x & \text{si } 0 \lt x \lt 1 \\ 2 & \text{si } 1 \lt x \lt 2 \end{cases}$$ Ahora estudiamos las derivadas laterales en el punto de salto $x = 1$: - Derivada por la izquierda: $$f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (-e^x) = -e^1 = -e$$ - Derivada por la derecha: $$f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} (2) = 2$$ Como las derivadas laterales son distintas ($f'(1^-) = -e \neq f'(1^+) = 2$), la función **no es derivable en $x = 1$**. ✅ **Resultado (Derivabilidad):** $$\boxed{\text{f es derivable en } [0, 2] \setminus \{1\}}$$

**b) [1,5 puntos] Halla los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Según el Teorema de Weierstrass, una función continua en un intervalo cerrado alcanza sus extremos absolutos. Los candidatos a extremos absolutos son: 1. Los puntos donde la derivada es cero ($f'(x) = 0$). 2. Los puntos donde la función no es derivable (en este caso, $x = 1$). 3. Los extremos del intervalo ($x = 0$ y $x = 2$). Analizamos $f'(x) = 0$ en cada rama: - Si $0 \lt x \lt 1$, $f'(x) = -e^x$. La ecuación $-e^x = 0$ no tiene solución real. - Si $1 \lt x \lt 2$, $f'(x) = 2$. La ecuación $2 = 0$ no tiene solución. Por tanto, los únicos candidatos son $x = 0$, $x = 1$ y $x = 2$. 💡 **Tip:** Los extremos absolutos en intervalos cerrados siempre se encuentran comparando los valores de la función en los puntos singulares y en los bordes del dominio.

Evaluamos la función original $f(x)$ en los puntos candidatos seleccionados: - En $x = 0$: $f(0) = 1 - e^0 = 1 - 1 = 0$ - En $x = 1$: $f(1) = 1 - e \approx -1.718$ - En $x = 2$: $f(2) = 2(2) - 1 - e = 3 - e \approx 0.282$ Comparamos los valores obtenidos: - El valor más pequeño es $1 - e$, que se alcanza en $x = 1$. - El valor más grande es $3 - e$, que se alcanza en $x = 2$. **Tabla de monotonía para mayor claridad:** $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0,1) & 1 & (1,2) \\ \hline f'(x) & - & \nexists & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array} $$ Como se observa, la función decrece hasta $x=1$ y luego crece hasta $x=2$. ✅ **Resultado (Extremos absolutos):** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Mínimo absoluto: } (1, 1-e) \\ \text{Máximo absoluto: } (2, 3-e) \end{matrix}}$$