Distribución normal: sigma y probabilidades

**a) [1,25 puntos] Si el 33 % de las manzanas pesan más de 230 gramos, calcula la desviación típica del peso de las manzanas.** Sea $X$ el peso (en gramos) de una manzana. Nos dicen que sigue una normal con media $200$ y desviación típica desconocida: $$X\sim\mathcal{N}(200,\sigma).$$ El dato del enunciado es: $$P(X\gt 230)=0{,}33.$$ Pasamos a la cola izquierda (porque las tablas suelen dar $P(Z\le z)$): $$P(X\le 230)=1-0{,}33=0{,}67.$$ Tipificamos con $$Z=\frac{X-200}{\sigma},\qquad Z\sim\mathcal{N}(0,1).$$ Entonces $$P\left(Z\le \frac{230-200}{\sigma}\right)=P\left(Z\le \frac{30}{\sigma}\right)=0{,}67.$$ 💡 **Tip:** Para usar tablas de la normal estándar, conviene expresar siempre la probabilidad como $P(Z\le z)$.

Buscamos en la tabla el valor $z$ tal que $$P(Z\le z)=0{,}67.$$ De la tabla de la normal estándar se obtiene aproximadamente: $$z\approx 0{,}44\quad\text{(pues }P(Z\le 0{,}44)\approx 0{,}67\text{)}.$$ Por tanto, $$\frac{30}{\sigma}=0{,}44\quad\Longrightarrow\quad \sigma=\frac{30}{0{,}44}.$$ Calculamos: $$\sigma=\frac{30}{0{,}44}=68{,}18\ \text{g}.$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\sigma\approx 68{,}18\ \text{g}}$$ (En el interactivo puedes mover $\sigma$ y ver cómo cambia la cola derecha a partir de $230$ g.)

**b) [1,25 puntos] Si la desviación típica es de 50 gramos, calcula el porcentaje de manzanas que pesan entre 160 y 220 gramos.** Ahora $$X\sim\mathcal{N}(200,50).$$ Queremos: $$P(160\le X\le 220).$$ Tipificamos con $$Z=\frac{X-200}{50},\qquad Z\sim\mathcal{N}(0,1).$$ Calculamos los valores tipificados: - Para $160$: $$z_1=\frac{160-200}{50}=-\frac{40}{50}=-0{,}8.$$ - Para $220$: $$z_2=\frac{220-200}{50}=\frac{20}{50}=0{,}4.$$ Así, $$P(160\le X\le 220)=P(-0{,}8\le Z\le 0{,}4).$$ 💡 **Tip:** Tras tipificar, el problema siempre se reduce a una probabilidad con $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$.

Reescribimos la probabilidad como diferencia de acumuladas: $$P(-0{,}8\le Z\le 0{,}4)=P(Z\le 0{,}4)-P(Z\le -0{,}8).$$ Usamos simetría de la normal estándar: $$P(Z\le -0{,}8)=1-P(Z\le 0{,}8).$$ De la tabla: - $P(Z\le 0{,}4)=0{,}6554$. - $P(Z\le 0{,}8)=0{,}7881$. Entonces: $$P(Z\le -0{,}8)=1-0{,}7881=0{,}2119,$$ $$P(-0{,}8\le Z\le 0{,}4)=0{,}6554-0{,}2119=0{,}4435.$$ En porcentaje: $$0{,}4435\cdot 100\%=44{,}35\%.$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{P(160\le X\le 220)\approx 44{,}35\%}$$ (El interactivo muestra la campana con $\mu=200$, $\sigma=50$ y el área sombreada entre $160$ y $220$.)