Distribución Normal: Peso de Manzanas

**a) [1,25 puntos] Si el 33 % de las manzanas pesan más de 230 gramos, calcula la desviación típica del peso de las manzanas.** Sea $X$ la variable aleatoria que representa el peso de las manzanas en gramos. El enunciado nos indica que $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(200, \sigma)$$ donde la media es $\mu = 200$ y la desviación típica $\sigma$ es desconocida. Se nos da el dato de que el $33 \%$ pesan más de $230$ g, es decir: $$P(X \gt 230) = 0,33$$ Para trabajar con la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$, debemos tipificar la variable. 💡 **Tip:** Para tipificar una variable normal $X \sim N(\mu, \sigma)$, utilizamos el cambio $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$, donde $Z \sim N(0, 1)$.

Tipificamos el valor $230$: $$P\left( Z \gt \frac{230 - 200}{\sigma} \right) = 0,33 \implies P\left( Z \gt \frac{30}{\sigma} \right) = 0,33$$ Como la tabla de la normal nos da probabilidades del tipo $P(Z \le z)$, transformamos la expresión: $$1 - P\left( Z \le \frac{30}{\sigma} \right) = 0,33$$ $$P\left( Z \le \frac{30}{\sigma} \right) = 1 - 0,33 = 0,67$$ Buscamos en la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$ el valor de $z$ cuya probabilidad acumulada es más cercana a $0,67$: - Para $z = 0,43 \to P(Z \le 0,43) = 0,6664$ - Para $z = 0,44 \to P(Z \le 0,44) = 0,6700$ Tomamos el valor **$z = 0,44$**. 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, tomamos el más cercano o realizamos una interpolación lineal. En este caso, $0,44$ es exacto para el redondeo habitual.

Igualamos el valor tipificado con el valor obtenido de la tabla: $$\frac{30}{\sigma} = 0,44$$ Despejamos $\sigma$: $$\sigma = \frac{30}{0,44} \approx 68,1818$$ Redondeando a dos decimales, obtenemos la desviación típica. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma \approx 68,18 \text{ gramos}}$$

**b) [1,25 puntos] Si la desviación típica es de 50 gramos, calcula el porcentaje de manzanas que pesan entre 160 y 220 gramos.** En este apartado, la desviación típica es conocida, por lo que la distribución es: $$X \sim N(200, 50)$$ Queremos calcular la probabilidad de que el peso esté en el intervalo $[160, 220]$: $$P(160 \le X \le 220)$$ Tipificamos ambos extremos del intervalo usando $Z = \dfrac{X - 200}{50}$: $$P\left( \frac{160 - 200}{50} \le Z \le \frac{220 - 200}{50} \right)$$ $$P\left( \frac{-40}{50} \le Z \le \frac{20}{50} \right) = P(-0,8 \le Z \le 0,4)$$

Descomponemos la probabilidad del intervalo: $$P(-0,8 \le Z \le 0,4) = P(Z \le 0,4) - P(Z \le -0,8)$$ Por la simetría de la distribución normal, sabemos que $P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)$. Aplicamos esto para el valor negativo: $$P(Z \le -0,8) = 1 - P(Z \le 0,8)$$ Sustituyendo en la expresión anterior: $$P(-0,8 \le Z \le 0,4) = P(Z \le 0,4) - [1 - P(Z \le 0,8)]$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área total bajo la campana de Gauss es $1$, por eso la probabilidad del valor negativo se calcula restando a $1$ su valor positivo.

Buscamos los valores en la tabla $N(0, 1)$: - $P(Z \le 0,4) = 0,6554$ - $P(Z \le 0,8) = 0,7881$ Calculamos el valor final: $$P(-0,8 \le Z \le 0,4) = 0,6554 - (1 - 0,7881)$$ $$P(-0,8 \le Z \le 0,4) = 0,6554 - 0,2119 = 0,4435$$ Para dar el resultado en porcentaje, multiplicamos por $100$: $$0,4435 \cdot 100 = 44,35 \%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{44,35 \%}$$