Áreas entre exponenciales negativas

**a) [1 punto] Esboza las gráficas de dichas funciones.** Para $f(x)=-e^x$ usamos las propiedades de la exponencial: - Como $e^x>0$ para todo $x$, entonces $$f(x)=-e^x<0\quad\forall x,$$ por lo que la gráfica está siempre **por debajo** del eje $x$. - Punto notable: $$f(0)=-e^0=-1,\quad \Rightarrow\quad (0,-1)\ \text{pertenece a la gráfica}.$$ - Comportamiento en los extremos: - Si $x\to -\infty$, entonces $e^x\to 0$ y $$f(x)=-e^x\to 0^-,$$ así que hay **asíntota horizontal** $y=0$ por la izquierda. - Si $x\to +\infty$, entonces $e^x\to +\infty$ y $$f(x)=-e^x\to -\infty.$$ - Monotonía: - $e^x$ es creciente y el signo “$-$” invierte el sentido, así que $f$ es **decreciente**. 💡 **Tip:** En esbozos, localiza primero: (1) signo, (2) punto $x=0$, (3) límites al infinito y (4) si sube o baja. **Resumen para el dibujo:** $$\boxed{f(0)=-1,\ \text{siempre negativa, decreciente, y con asíntota }y=0\text{ cuando }x\to-\infty.}$$

Ahora para $g(x)=-e^{-x}$: - También es siempre negativa porque $e^{-x}>0$: $$g(x)=-e^{-x}<0\quad\forall x.$$ - Punto notable: $$g(0)=-e^0=-1,$$ por lo que **también** pasa por $(0,-1)$. - Comportamiento en los extremos: - Si $x\to +\infty$, entonces $e^{-x}\to 0$ y $$g(x)=-e^{-x}\to 0^-,$$ así que hay asíntota horizontal $y=0$ por la derecha. - Si $x\to -\infty$, entonces $e^{-x}\to +\infty$ y $$g(x)=-e^{-x}\to -\infty.$$ - Monotonía: - $e^{-x}$ es decreciente y el signo “$-$” invierte el sentido, así que $g$ es **creciente**. Además, $$g(x)=f(-x),$$ por lo que las gráficas de $f$ y $g$ son **simétricas respecto del eje $y$**. **Resumen para el dibujo:** $$\boxed{g(0)=-1,\ \text{siempre negativa, creciente, y con asíntota }y=0\text{ cuando }x\to+\infty.}$$

**b) [1,5 puntos] Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por las gráficas de dichas funciones y las rectas $x=-1$ y $x=1$.** Primero hallamos el punto de intersección $f(x)=g(x)$: $$-e^x=-e^{-x}\ \Longrightarrow\ e^x=e^{-x}\ \Longrightarrow\ e^{2x}=1\ \Longrightarrow\ x=0.$$ En $x=0$: $$f(0)=g(0)=-1,$$ por tanto el punto de corte es $$\boxed{(0,-1)}.$$ Para saber cuál está arriba (más cerca de $0$, es decir, **menos negativa**) comparamos: - Si $x>0$, entonces $e^x\gt e^{-x}$ y al multiplicar por $-$ se invierte la desigualdad: $$-e^x\lt -e^{-x}\ \Rightarrow\ f(x)\lt g(x),$$ por lo que **$g$ está arriba** en $(0,1]$. - Si $x<0$, entonces $e^x\lt e^{-x}$ y: $$-e^x\gt -e^{-x}\ \Rightarrow\ f(x)\gt g(x),$$ por lo que **$f$ está arriba** en $[-1,0)$. **Conclusión de “arriba-abajo”:** $$\boxed{\text{En }[-1,0]:\ f\text{ arriba};\qquad \text{en }[0,1]:\ g\text{ arriba}.}$$

El área entre dos curvas $y=\text{arriba}$ y $y=\text{abajo}$ en $[a,b]$ es $$\text{Área}=\int_a^b (\text{arriba}-\text{abajo})\,dx.$$ Aquí, el intervalo $[-1,1]$ se parte en $x=0$ (donde se cruzan): - En $[-1,0]$ el área es $$A_1=\int_{-1}^{0}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx=\int_{-1}^{0}\big((-e^x)-(-e^{-x})\big)\,dx=\int_{-1}^{0}\big(e^{-x}-e^x\big)\,dx.$$ - En $[0,1]$ el área es $$A_2=\int_{0}^{1}\big(g(x)-f(x)\big)\,dx=\int_{0}^{1}\big((-e^{-x})-(-e^x)\big)\,dx=\int_{0}^{1}\big(e^x-e^{-x}\big)\,dx.$$ Por tanto, $$A=A_1+A_2.$$ 💡 **Tip:** Si las curvas se cortan dentro del intervalo, **siempre** divide la integral en los puntos de corte para evitar signos incorrectos.

Como $g(x)=f(-x)$, la situación en $[-1,0]$ es simétrica a la de $[0,1]$ respecto del eje $y$. Por ello, las dos áreas son iguales: $$A_1=A_2.$$ Así podemos calcular solo una y duplicar: $$A=2A_2=2\int_{0}^{1}\big(e^x-e^{-x}\big)\,dx.$$ **Planteamiento final del área:** $$\boxed{A=2\int_{0}^{1}(e^x-e^{-x})\,dx}$$

Calculamos $$\int_{0}^{1}(e^x-e^{-x})\,dx.$$ Una primitiva es $$F(x)=e^x+e^{-x},$$ porque $$F'(x)=e^x-e^{-x}.$$ Aplicamos la **regla de Barrow**: $$\int_{0}^{1}(e^x-e^{-x})\,dx=\big[F(x)\big]_{0}^{1}=F(1)-F(0).$$ Calculamos cada valor: $$F(1)=e^1+e^{-1}=e+\frac{1}{e},$$ $$F(0)=e^0+e^0=1+1=2.$$ Luego $$\int_{0}^{1}(e^x-e^{-x})\,dx=\left(e+\frac{1}{e}\right)-2=e+\frac{1}{e}-2.$$ Finalmente, el área total es $$A=2\left(e+\frac{1}{e}-2\right)=2e+\frac{2}{e}-4.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A=2e+\frac{2}{e}-4}$$