Área entre funciones exponenciales

**a) [1 punto] Esboza las gráficas de dichas funciones.** Para esbozar las gráficas, analizamos el comportamiento de ambas funciones exponenciales: 1. **Función $f(x) = -e^x$**: - Es la simétrica respecto al eje $OX$ de la función exponencial estándar $e^x$. - Siempre es negativa ($f(x) < 0$). - Corta al eje $OY$ en $(0, f(0)) = (0, -1)$. - Tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ cuando $x \to -\infty$. - Es decreciente en todo su dominio, ya que $f'(x) = -e^x < 0$. 2. **Función $g(x) = -e^{-x}$**: - Es la simétrica respecto al eje $OX$ de $e^{-x}$ (o la simétrica respecto al eje $OY$ de $f(x)$). - Siempre es negativa ($g(x) < 0$). - Corta al eje $OY$ en $(0, g(0)) = (0, -1)$. - Tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ cuando $x \to +\infty$. - Es creciente en todo su dominio, ya que $g'(x) = e^{-x} > 0$. Ambas funciones se cortan en el punto $(0, -1)$. 💡 **Tip:** Recuerda que $e^x$ siempre es positivo. Por tanto, $-e^x$ y $-e^{-x}$ siempre estarán por debajo del eje de abscisas.

**b) [1,5 puntos] Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por las gráficas de dichas funciones y las rectas $x = -1$ y $x = 1$.** Primero, buscamos si las funciones se cortan en el intervalo $(-1, 1)$: $$f(x) = g(x) \implies -e^x = -e^{-x} \implies e^x = \frac{1}{e^x} \implies (e^x)^2 = 1 \implies e^{2x} = 1$$ Tomando logaritmos: $$2x = \ln(1) = 0 \implies x = 0.$$ El punto de corte es **$x = 0$**, que divide nuestro intervalo $[-1, 1]$ en dos recintos: $[-1, 0]$ y $[0, 1]$. Determinamos qué función queda por encima en cada intervalo: - En $[-1, 0]$: Probamos con $x = -0.5$. $f(-0.5) = -e^{-0.5} \approx -0.6$ y $g(-0.5) = -e^{0.5} \approx -1.6$. Como $-0.6 > -1.6$, entonces **$f(x) > g(x)$**. - En $[0, 1]$: Probamos con $x = 0.5$. $f(0.5) = -e^{0.5} \approx -1.6$ y $g(0.5) = -e^{-0.5} \approx -0.6$. Como $-0.6 > -1.6$, entonces **$g(x) > f(x)$**. 💡 **Tip:** El área entre dos funciones $h_1(x)$ y $h_2(x)$ desde $a$ hasta $b$ se calcula como $\int_a^b |h_1(x) - h_2(x)| dx$.

Calculamos el área del primer recinto entre $x = -1$ y $x = 0$, donde $f(x) \ge g(x)$: $$A_1 = \int_{-1}^{0} (f(x) - g(x)) dx = \int_{-1}^{0} (-e^x - (-e^{-x})) dx = \int_{-1}^{0} (e^{-x} - e^x) dx.$$ Buscamos la primitiva: $$\int (e^{-x} - e^x) dx = -e^{-x} - e^x.$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A_1 = \left[ -e^{-x} - e^x \right]_{-1}^{0} = (-e^0 - e^0) - (-e^{-(-1)} - e^{-1}) = (-1 - 1) - (-e - e^{-1}) = -2 + e + \frac{1}{e}.$$ $$A_1 = e + \frac{1}{e} - 2 \text{ unidades}^2.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax}$. Por eso $\int e^{-x} dx = -e^{-x}$.

Calculamos el área del segundo recinto entre $x = 0$ y $x = 1$, donde $g(x) \ge f(x)$: $$A_2 = \int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) dx = \int_{0}^{1} (-e^{-x} - (-e^x)) dx = \int_{0}^{1} (e^x - e^{-x}) dx.$$ Buscamos la primitiva: $$\int (e^x - e^{-x}) dx = e^x + e^{-x}.$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A_2 = \left[ e^x + e^{-x} \right]_{0}^{1} = (e^1 + e^{-1}) - (e^0 + e^0) = (e + e^{-1}) - (1 + 1) = e + \frac{1}{e} - 2 \text{ unidades}^2.$$ La suma de las áreas es: $$A_{total} = A_1 + A_2 = \left(e + \frac{1}{e} - 2\right) + \left(e + \frac{1}{e} - 2\right) = 2e + \frac{2}{e} - 4.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 2e + \frac{2}{e} - 4 \approx 2.175 \text{ u}^2}$$