Operaciones con matrices y parámetros

**a) [1,5 puntos] Determina $a$ y $b$ para que $A^2 = 4I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.** Primero, calculamos la matriz $A^2$ multiplicando la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} a & 3 \\ b & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 3 \\ b & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de matrices multiplicando cada fila de la primera por cada columna de la segunda: $$A^2 = \begin{pmatrix} a \cdot a + 3 \cdot b & a \cdot 3 + 3 \cdot 1 \\ b \cdot a + 1 \cdot b & b \cdot 3 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + 3b & 3a + 3 \\ ab + b & 3b + 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que el producto de matrices sea posible, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda. El elemento $(i, j)$ del resultado es el producto escalar de la fila $i$ por la columna $j$.

Planteamos la igualdad $A^2 = 4I$, sabiendo que $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$: $$\begin{pmatrix} a^2 + 3b & 3a + 3 \\ ab + b & 3b + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, todos sus elementos en la misma posición deben ser idénticos. Esto genera el siguiente sistema de ecuaciones: 1) $a^2 + 3b = 4$ 2) $3a + 3 = 0$ 3) $ab + b = 0$ 4) $3b + 1 = 4$ De la ecuación (2), despejamos $a$: $$3a = -3 \implies a = -1$$ De la ecuación (4), despejamos $b$: $$3b = 3 \implies b = 1$$ Comprobamos si estos valores satisfacen las ecuaciones restantes: - En (1): $(-1)^2 + 3(1) = 1 + 3 = 4$ (Correcto). - En (3): $(-1)(1) + 1 = -1 + 1 = 0$ (Correcto). ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -1, \quad b = 1}$$

**b) [1 punto] Para $a = -1$ y $b = 1$, calcula, si es posible, la matriz $X$ que cumple $A^2 X = B^t$.** Dado que para $a = -1$ y $b = 1$ ya sabemos por el apartado anterior que $A^2 = 4I$, sustituimos este valor en la ecuación: $$(4I) X = B^t$$ Como la matriz identidad $I$ es el elemento neutro del producto matricial ($IX = X$), la ecuación se simplifica notablemente: $$4X = B^t \implies X = \frac{1}{4} B^t$$ 💡 **Tip:** Utilizar las propiedades de la matriz identidad ahorra tener que calcular la inversa de $A^2$, lo cual simplifica mucho el ejercicio.

Primero, hallamos la matriz traspuesta de $B$. Intercambiamos sus filas por columnas: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \implies B^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora, multiplicamos cada elemento de $B^t$ por el escalar $\frac{1}{4}$: $$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/4 & -1/4 & 1/4 \\ 1/4 & 2/4 & 1/4 \end{pmatrix}$$ Simplificando las fracciones obtenemos la matriz $X$: $$X = \begin{pmatrix} 0,25 & -0,25 & 0,25 \\ 0,25 & 0,5 & 0,25 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al trasponer una matriz de dimensión $m \times n$, la matriz resultante tendrá dimensión $n \times m$. En este caso, pasamos de una $3 \times 2$ a una $2 \times 3$.