Condición $A^2=4I$ y ecuación matricial

**a) [1,5 puntos] Determina $a$ y $b$ para que $A^2=4I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.** Partimos de $$A=\begin{pmatrix}a&3\\b&1\end{pmatrix}.$$ Calculamos $A^2=A\cdot A$: $$A^2=\begin{pmatrix}a&3\\b&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&3\\b&1\end{pmatrix}.$$ Recordatorio: la entrada $(i,j)$ del producto se obtiene haciendo **fila $i$** por **columna $j$**. - Entrada $(1,1)$: $$a\cdot a+3\cdot b=a^2+3b.$$ - Entrada $(1,2)$: $$a\cdot 3+3\cdot 1=3a+3.$$ - Entrada $(2,1)$: $$b\cdot a+1\cdot b=ab+b=b(a+1).$$ - Entrada $(2,2)$: $$b\cdot 3+1\cdot 1=3b+1.$$ Por tanto: $$A^2=\begin{pmatrix}a^2+3b&3a+3\\b(a+1)&3b+1\end{pmatrix}.$$ 💡 **Tip:** En productos de matrices, revisa siempre las dimensiones: aquí $A$ es $2\times2$, así que $A^2$ también es $2\times2$.

La condición del enunciado es: $$A^2=4I,\qquad 4I=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}.$$ Igualamos entrada a entrada: $$\begin{pmatrix}a^2+3b&3a+3\\b(a+1)&3b+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}.$$ Esto equivale al sistema: $$\begin{cases} a^2+3b=4 \\ 3a+3=0 \\ b(a+1)=0 \\ 3b+1=4 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Cuando dos matrices son iguales, **todas** sus entradas correspondientes deben ser iguales. Es una manera muy rápida de convertir una ecuación matricial en un sistema.

Resolvemos el sistema paso a paso: De $$3a+3=0$$ obtenemos: $$3(a+1)=0\Rightarrow a+1=0\Rightarrow a=-1.$$ Sustituimos en la ecuación $$b(a+1)=0.$$ Como $a=-1$, entonces $a+1=0$ y queda: $$b\cdot 0=0,$$ que se cumple para cualquier $b$ (esta ecuación no aporta información nueva en este caso). Ahora usamos $$3b+1=4\Rightarrow 3b=3\Rightarrow b=1.$$ **Comprobación** en la primera ecuación: $$a^2+3b=4.$$ Sustituimos $a=-1$ y $b=1$: $$(-1)^2+3\cdot 1=1+3=4,$$ se cumple. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{a=-1,\; b=1}$$

**b) [1 punto] Para $a=-1$ y $b=1$, calcula, si es posible, la matriz $X$ que cumple $A^2X=B^t$.** Con $a=-1$ y $b=1$, por el apartado anterior se cumple: $$A^2=4I.$$ La ecuación matricial es: $$A^2X=B^t\Rightarrow (4I)X=B^t.$$ **Comprobación de tamaños (para ver si es posible):** - $A^2=4I$ es una matriz $2\times 2$. - $B$ es $3\times 2$: $$B=\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\\1&1\end{pmatrix}.$$ - Por tanto, $B^t$ es $2\times 3$. Para que $(2\times 2)\cdot X=(2\times 3)$, necesariamente $X$ debe ser $2\times 3$. Como $4I$ es invertible (su determinante es $4^2=16\ne 0$), la ecuación tiene **solución única**: $$X=(4I)^{-1}B^t=\frac{1}{4}IB^t=\frac{1}{4}B^t.$$ 💡 **Tip:** Si tienes $kI\,X=Y$ con $k\ne 0$, entonces $X=\dfrac{1}{k}Y$ porque $kI$ actúa como “multiplicar por $k$”.

Calculamos la traspuesta de $B$ (intercambiando filas por columnas): Si $$B=\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\\1&1\end{pmatrix},$$ entonces $$B^t=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&2&1\end{pmatrix}.$$ Por tanto: $$X=\frac{1}{4}B^t=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&2&1\end{pmatrix}.$$ Multiplicamos cada entrada por $\tfrac14$: $$X=\begin{pmatrix}\frac14&-\frac14&\frac14\\\frac14&\frac12&\frac14\end{pmatrix}.$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{X=\begin{pmatrix}\frac14&-\frac14&\frac14\\\frac14&\frac12&\frac14\end{pmatrix}}$$