Determinantes a partir de det(M)

**a) [1,25 puntos] Calcula $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{31}&2a_{21}\\3a_{12}&3a_{32}&6a_{22}\\2a_{13}&2a_{33}&4a_{23}\end{vmatrix}$.** Partimos del determinante pedido: $$D_a=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{31}&2a_{21}\\ 3a_{12}&3a_{32}&6a_{22}\\ 2a_{13}&2a_{33}&4a_{23} \end{vmatrix}.$$ **Paso 1 (propiedad: factor común en una fila):** Sacamos un $3$ de la fila 2: $$D_a=3\begin{vmatrix} a_{11}&a_{31}&2a_{21}\\ a_{12}&a_{32}&2a_{22}\\ 2a_{13}&2a_{33}&4a_{23} \end{vmatrix}.$$ **Paso 2 (propiedad: factor común en una fila):** Ahora sacamos un $2$ de la fila 3: $$D_a=3\cdot 2\begin{vmatrix} a_{11}&a_{31}&2a_{21}\\ a_{12}&a_{32}&2a_{22}\\ a_{13}&a_{33}&2a_{23} \end{vmatrix}=6\begin{vmatrix} a_{11}&a_{31}&2a_{21}\\ a_{12}&a_{32}&2a_{22}\\ a_{13}&a_{33}&2a_{23} \end{vmatrix}.$$ 💡 **Tip:** Siempre que toda una fila (o columna) tenga un factor común, conviene sacarlo antes: simplifica el resto del trabajo.

Sabemos que: $$\det(M)=-5.$$ **Paso 3 (propiedad: determinante de la traspuesta):** $$\det(M^T)=\det(M)=-5,$$ siendo $$M^T=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{21}&a_{31}\\ a_{12}&a_{22}&a_{32}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{pmatrix}.$$ Queremos llegar al determinante $$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{31}&2a_{21}\\ a_{12}&a_{32}&2a_{22}\\ a_{13}&a_{33}&2a_{23} \end{vmatrix}.$$ **Paso 4 (propiedad: intercambio de dos columnas cambia el signo):** En $M^T$ intercambiamos las columnas 2 y 3: $$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{31}&a_{21}\\ a_{12}&a_{32}&a_{22}\\ a_{13}&a_{33}&a_{23} \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} a_{11}&a_{21}&a_{31}\\ a_{12}&a_{22}&a_{32}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{vmatrix}=-\det(M^T)=-(-5)=5.$$ **Paso 5 (propiedad: multiplicar una columna por $2$ multiplica el determinante por $2$):** Multiplicamos la columna 3 por $2$: $$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{31}&2a_{21}\\ a_{12}&a_{32}&2a_{22}\\ a_{13}&a_{33}&2a_{23} \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} a_{11}&a_{31}&a_{21}\\ a_{12}&a_{32}&a_{22}\\ a_{13}&a_{33}&a_{23} \end{vmatrix}=2\cdot 5=10.$$ Sustituyendo en el resultado del paso 2: $$D_a=6\cdot 10=60.$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{60}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula $\begin{vmatrix}2a_{11}-3a_{31}&2a_{12}-3a_{32}&4a_{13}-6a_{33}\\a_{21}&a_{22}&2a_{23}\\a_{31}&a_{32}&2a_{33}\end{vmatrix}$.** Partimos del determinante pedido: $$D_b=\begin{vmatrix} 2a_{11}-3a_{31}&2a_{12}-3a_{32}&4a_{13}-6a_{33}\\ a_{21}&a_{22}&2a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&2a_{33} \end{vmatrix}.$$ **Paso 1 (propiedad: factor común en una columna):** En la columna 3 hay un factor común $2$: $$4a_{13}-6a_{33}=2(2a_{13}-3a_{33}),\qquad 2a_{23}=2\,a_{23},\qquad 2a_{33}=2\,a_{33}.$$ Luego: $$D_b=2\begin{vmatrix} 2a_{11}-3a_{31}&2a_{12}-3a_{32}&2a_{13}-3a_{33}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}.$$ 💡 **Tip:** Sacar factores comunes en columnas es igual de válido que en filas: el determinante “sale” multiplicando.

Nos centramos en $$\Delta=\begin{vmatrix} 2a_{11}-3a_{31}&2a_{12}-3a_{32}&2a_{13}-3a_{33}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}.$$ Observa que la **fila 1** puede escribirse como combinación lineal de la fila 1 y la fila 3 de $M$: $$(2a_{11}-3a_{31},\ 2a_{12}-3a_{32},\ 2a_{13}-3a_{33})=2(a_{11},a_{12},a_{13})-3(a_{31},a_{32},a_{33}).$$ **Paso 2 (propiedad: linealidad del determinante en una fila):** Si mantenemos fijas las filas 2 y 3, el determinante es lineal respecto a la fila 1, así que: $$\Delta=2\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix} a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}.$$ Identificamos el primer determinante: $$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}=\det(M)=-5.$$ **Paso 3 (propiedad: dos filas iguales $\Rightarrow$ determinante nulo):** En el segundo determinante, la fila 1 y la fila 3 son iguales, por tanto: $$\begin{vmatrix} a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}=0.$$ Así: $$\Delta=2(-5)-3\cdot 0=-10.$$ Volvemos a $D_b$: $$D_b=2\Delta=2(-10)=-20.$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{-20}$$