Propiedades de los determinantes

**a) [1,25 puntos] Calcula $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ 3a_{12} & 3a_{32} & 6a_{22} \\ 2a_{13} & 2a_{33} & 4a_{23} \end{vmatrix}$.** Para resolver este determinante, aplicaremos las propiedades de los determinantes para transformarlo en el determinante de la matriz $M$ original. En primer lugar, observamos que en la segunda fila todos los elementos son múltiplos de $3$ y en la tercera fila son múltiplos de $2$. Extrayendo el factor $3$ de la segunda fila ($F_2$) y el factor $2$ de la tercera fila ($F_3$): $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ 3a_{12} & 3a_{32} & 6a_{22} \\ 2a_{13} & 2a_{33} & 4a_{23} \end{vmatrix} = 3 \cdot 2 \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ a_{12} & a_{32} & 2a_{22} \\ a_{13} & a_{33} & 2a_{23} \end{vmatrix} = 6 \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ a_{12} & a_{32} & 2a_{22} \\ a_{13} & a_{33} & 2a_{23} \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante se multiplican por un número real, el determinante queda multiplicado por dicho número.

A continuación, extraemos el factor $2$ de la tercera columna ($C_3$): $$6 \cdot 2 \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & a_{21} \\ a_{12} & a_{32} & a_{22} \\ a_{13} & a_{33} & a_{23} \end{vmatrix} = 12 \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & a_{21} \\ a_{12} & a_{32} & a_{22} \\ a_{13} & a_{33} & a_{23} \end{vmatrix}$$ Ahora, observamos que la matriz resultante es casi la traspuesta de $M$, pero con las columnas $2$ y $3$ intercambiadas. Aplicamos la propiedad de que el determinante de una matriz es igual al de su traspuesta ($|A| = |A^t|$): $$12 \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{vmatrix}$$ Para llegar a la matriz $M$, debemos intercambiar la segunda y la tercera fila ($F_2 \leftrightarrow F_3$). Al intercambiar dos filas, el determinante cambia de signo: $$-12 \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = -12 \cdot |M|$$ Sustituimos el valor $|M| = -5$: $$-12 \cdot (-5) = 60$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{60}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula $\begin{vmatrix} 2a_{11} - 3a_{31} & 2a_{12} - 3a_{32} & 4a_{13} - 6a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & 2a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix}$.** Primero, observamos que la tercera columna es proporcional a las otras en lo que respecta al factor $2$. Sacamos factor común $2$ de la tercera columna ($C_3$): $$\begin{vmatrix} 2a_{11} - 3a_{31} & 2a_{12} - 3a_{32} & 4a_{13} - 6a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & 2a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2a_{11} - 3a_{31} & 2a_{12} - 3a_{32} & 2a_{13} - 3a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable simplificar factores comunes antes de aplicar propiedades de linealidad de las filas.

Aplicamos la propiedad que indica que si una fila es una suma de dos sumandos, el determinante puede descomponerse en la suma de dos determinantes: $$2 \cdot \left( \begin{vmatrix} 2a_{11} & 2a_{12} & 2a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -3a_{31} & -3a_{32} & -3a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \right)$$ Ahora extraemos los factores constantes de la primera fila de cada determinante ($2$ en el primero y $-3$ en el segundo): $$2 \cdot \left( 2 \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \right)$$ 💡 **Tip:** Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, su valor es $0$. En el segundo determinante, $F_1 = F_3$.

Sustituimos el valor del determinante de $M$ y aplicamos que el segundo determinante es nulo: $$2 \cdot (2 \cdot |M| - 3 \cdot 0) = 2 \cdot (2 \cdot (-5) - 0) = 2 \cdot (-10) = -20$$ Alternativamente, podríamos haber aplicado que si a una fila se le suma una combinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía. Si a $F_1$ le sumamos $3 F_3$: $$2 \cdot \begin{vmatrix} 2a_{11} & 2a_{12} & 2a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 \cdot |M| = 4 \cdot (-5) = -20$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{-20}$$