Estudio de derivabilidad y monotonía con valor absoluto

**a) [1,5 puntos] Estudia la derivabilidad de $f$.** Para estudiar la derivabilidad, primero debemos expresar la función $f(x)$ como una función definida a trozos eliminando el valor absoluto. Recordamos que $|x| = x$ si $x \ge 0$ y $|x| = -x$ si $x \lt 0$. Dado el dominio $(-1, 1)$, tenemos: - Si $-1 \lt x \lt 0$, entonces $|x| = -x \implies f(x) = \frac{1 - x}{1 - (-x)} = \frac{1 - x}{1 + x}$. - Si $0 \le x \lt 1$, entonces $|x| = x \implies f(x) = \frac{1 + x}{1 - x}$. Por tanto: $$f(x)=\begin{cases} \frac{1 - x}{1 + x} & \text{si } -1 \lt x \lt 0,\\ \frac{1 + x}{1 - x} & \text{si } 0 \le x \lt 1. \end{cases}$$ **Continuidad:** La función es continua en $(-1, 0) \cup (0, 1)$ por ser cocientes de polinomios cuyos denominadores no se anulan en dichos intervalos. Estudiamos el punto de salto $x = 0$: 1. $f(0) = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1$. 2. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1 - x}{1 + x} = \frac{1}{1} = 1$. 3. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 + x}{1 - x} = \frac{1}{1} = 1$. Al ser $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$, la función es **continua en $x = 0$** y, por tanto, en todo su dominio $(-1, 1)$. 💡 **Tip:** Antes de estudiar la derivabilidad es obligatorio comprobar la continuidad, ya que si una función no es continua en un punto, automáticamente no es derivable en él.

Derivamos cada rama de la función utilizando la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: - Para $-1 \lt x \lt 0$: $$f'(x) = \frac{-1(1 + x) - (1 - x)(1)}{(1 + x)^2} = \frac{-1 - x - 1 + x}{(1 + x)^2} = \frac{-2}{(1 + x)^2}$$ - Para $0 \lt x \lt 1$: $$f'(x) = \frac{1(1 - x) - (1 + x)(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{1 - x + 1 + x}{(1 - x)^2} = \frac{2}{(1 - x)^2}$$ La función derivada es: $$f'(x)=\begin{cases} \frac{-2}{(1 + x)^2} & \text{si } -1 \lt x \lt 0,\\ \frac{2}{(1 - x)^2} & \text{si } 0 \lt x \lt 1. \end{cases}$$ Comprobamos las derivadas laterales en $x = 0$: - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-2}{(1 + x)^2} = -2$. - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{(1 - x)^2} = 2$. Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función **no es derivable en $x = 0$**. ✅ **Resultado (derivabilidad):** $$\boxed{\text{f es derivable en } (-1, 0) \cup (0, 1)}$$

**b) [1 punto] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.** Estudiamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos donde es derivable: 1. **Intervalo $(-1, 0)$**: $$f'(x) = \frac{-2}{(1 + x)^2}$$ Como $(1 + x)^2 \gt 0$ para cualquier $x \in (-1, 0)$ y el numerador es $-2 \lt 0$, entonces $f'(x) \lt 0$. La función es **decreciente**. 2. **Intervalo $(0, 1)$**: $$f'(x) = \frac{2}{(1 - x)^2}$$ Como $(1 - x)^2 \gt 0$ para cualquier $x \in (0, 1)$ y el numerador es $2 \gt 0$, entonces $f'(x) \gt 0$. La función es **creciente**. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-1, 0) & 0 & (0, 1)\\\hline f'(x) & - & \nexists & +\\\hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Aunque la función no sea derivable en $x=0$, es un punto de cambio de definición y debe incluirse en el estudio de la monotonía. En este caso, al pasar de decreciente a creciente, existe un **mínimo relativo** en $(0, 1)$. ✅ **Resultado (monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Decreciente en } (-1, 0)\\ &\text{Creciente en } (0, 1) \end{aligned}}$$