Derivabilidad y monotonía con valor absoluto

**a) [1,5 puntos] Estudia la derivabilidad de $f$.** Como aparece $|x|$, separamos según el signo de $x$: - Si $x\ge 0$, entonces $|x|=x$. - Si $x<0$, entonces $|x|=-x$. Por tanto, la función puede escribirse a trozos como una única expresión: $$f(x)=\begin{cases} \,\dfrac{1-x}{1+x} & \text{si } -1 < x < 0,\\ \dfrac{1+x}{1-x} & \text{si } 0\le x<1. \end{cases}$$ En cada intervalo abierto donde la expresión es racional, $f$ es derivable siempre que el denominador no sea $0$. Como el dominio es $(-1,1)$, se cumple: - En $(-1,0)$: $1+x\ne 0$. - En $(0,1)$: $1-x\ne 0$. Por tanto, el único punto “delicado” para la derivabilidad es $x=0$, porque ahí cambia la expresión por el valor absoluto. 💡 **Tip:** Para estudiar derivabilidad con $|x|$, casi siempre el paso clave es escribir la función **a trozos** y revisar el punto donde cambia el signo (aquí, $0$).

Derivamos en cada intervalo usando la regla del cociente. Para $x\in(0,1)$: $$f(x)=\frac{1+x}{1-x}.$$ Entonces $$f'(x)=\frac{(1-x)\cdot 1-(1+x)\cdot(-1)}{(1-x)^2}=\frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1-x)^2}.$$ Para $x\in(-1,0)$: $$f(x)=\frac{1-x}{1+x}.$$ Entonces $$f'(x)=\frac{(1+x)(-1)-(1-x)\cdot 1}{(1+x)^2}=\frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2}=\frac{-2}{(1+x)^2}.$$ **Derivadas por tramos:** $$\boxed{\;f'(x)=\frac{-2}{(1+x)^2}\ \text{si }x\in(-1,0),\qquad f'(x)=\frac{2}{(1-x)^2}\ \text{si }x\in(0,1).\;}$$ 💡 **Tip:** En el cociente $\dfrac{u}{v}$ recuerda: $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.

Primero comprobamos que $f$ está bien definida en $x=0$: $$f(0)=\frac{1+|0|}{1-|0|}=\frac{1}{1}=1.$$ Como las expresiones por tramos son continuas en sus intervalos y ambas tienden a $1$ al acercarnos a $0$, la función es continua en $0$. Ahora comparamos las derivadas laterales en $0$: - Derivada por la derecha (usando el tramo $x>0$): $$f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1-0)^2}=2.$$ - Derivada por la izquierda (usando el tramo $x<0$): $$f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{-2}{(1+x)^2}=\frac{-2}{(1+0)^2}=-2.$$ Como $$f'_+(0)\ne f'_-(0),$$ se concluye que **$f$ no es derivable en $x=0$**. ✅ **Conclusión (apartado a):** $$\boxed{\;f\text{ es derivable en }(-1,0)\cup(0,1)\text{ y no es derivable en }x=0.\;}$$

**b) [1 punto] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.** Estudiamos el signo de la derivada en cada tramo: - Si $x\in(0,1)$: $$f'(x)=\frac{2}{(1-x)^2}>0\quad\Rightarrow\quad f\text{ es creciente en }(0,1).$$ - Si $x\in(-1,0)$: $$f'(x)=\frac{-2}{(1+x)^2}<0\quad\Rightarrow\quad f\text{ es decreciente en }(-1,0).$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\;f\text{ es decreciente en }(-1,0)\text{ y creciente en }(0,1).\;}$$ 💡 **Tip:** En un intervalo donde $f'(x)>0$ la función crece; donde $f'(x)<0$ decrece.

En la gráfica se aprecia el “codo” en $x=0$ (cambio brusco de pendiente) y que la función baja en $(-1,0)$ y sube en $(0,1)$. También se observa que al acercarse a $x=\pm 1$ la función crece sin límite (fuera del dominio).