Distancia mínima de un punto a una curva

**¿Hacia qué punto de la trayectoria debe nadar el náufrago para recorrer la menor distancia posible? Calcula dicha distancia.** La isla está en $A=(2,0)$. La trayectoria del ferry es la gráfica de $y=\sqrt{x+1}$, cuyo dominio es $x\ge -1$. Un punto genérico de la trayectoria es: $$P(x)=\big(x,\,\sqrt{x+1}\big),\quad x\ge -1.$$ La distancia del náufrago (en $A$) a un punto $P(x)$ de la curva es: $$d(x)=\sqrt{(x-2)^2+\big(\sqrt{x+1}-0\big)^2}.$$ 💡 **Tip:** Para minimizar una distancia con raíz, suele ser más fácil minimizar la **distancia al cuadrado**, porque evita la raíz exterior y conserva el punto donde se alcanza el mínimo (la raíz cuadrada es creciente).

Definimos: $$D(x)=d(x)^2=(x-2)^2+\left(\sqrt{x+1}\right)^2.$$ Como $\left(\sqrt{x+1}\right)^2=x+1$ (y $x\ge -1$), queda: $$D(x)=(x-2)^2+x+1.$$ Desarrollamos: $$(x-2)^2=x^2-4x+4,$$ por tanto: $$D(x)=x^2-4x+4+x+1=x^2-3x+5,\quad x\ge -1.$$ Ahora basta con minimizar $D(x)$ en el dominio $x\ge -1$.

Derivamos: $$D'(x)=2x-3.$$ Punto crítico: $$2x-3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}.$$ Comprobamos que pertenece al dominio: $$\frac{3}{2}\ge -1\quad \text{(sí).}$$ Además, $$D''(x)=2>0,$$ así que en $x=\frac{3}{2}$ hay un **mínimo**. Para asegurar que es **mínimo absoluto** en $x\ge -1$, comparamos también con el extremo del dominio: $$D(-1)=(-1)^2-3(-1)+5=1+3+5=9,$$ $$D\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^2-3\left(\frac{3}{2}\right)+5=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+5=\frac{11}{4}.$$ Como $\frac{11}{4}<9$, el mínimo absoluto en $x\ge -1$ se alcanza en $x=\frac{3}{2}$. El punto de la trayectoria correspondiente es: $$P_{\min}=\left(\frac{3}{2},\,\sqrt{\frac{3}{2}+1}\right)=\left(\frac{3}{2},\,\sqrt{\frac{5}{2}}\right).$$ ✅ Punto al que debe nadar: $$\boxed{\left(\frac{3}{2},\,\sqrt{\frac{5}{2}}\right)}$$

La distancia mínima es: $$d_{\min}=\sqrt{D\left(\frac{3}{2}\right)}=\sqrt{\frac{11}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{2}.$$ ✅ Distancia mínima: $$\boxed{\frac{\sqrt{11}}{2}}$$ 💡 **Tip:** Si minimizas $D(x)=d(x)^2$, al final no olvides volver a $d(x)$ aplicando la raíz cuadrada.

Mueve el deslizador $t$ para recorrer distintos puntos $P(t)$ sobre la curva. Observa cómo cambia la longitud del segmento $\overline{AP(t)}$ y comprueba que la distancia mínima ocurre en $t=\frac{3}{2}$.