Distancia mínima entre un punto y una curva

Para resolver este problema de optimización, debemos encontrar el punto $Q(x, y)$ sobre la trayectoria de la función $f(x) = \sqrt{x+1}$ que minimice la distancia al punto $P(2, 0)$. Cualquier punto de la trayectoria tiene la forma: $$Q(x, \sqrt{x+1})$$ con el dominio de la función restringido a $x \ge -1$ para que la raíz cuadrada esté definida. La fórmula de la distancia entre dos puntos $P(x_1, y_1)$ y $Q(x_2, y_2)$ es $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$. Aplicándola a nuestro caso: $$d(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + (\sqrt{x + 1} - 0)^2}$$ Simplificamos la expresión dentro de la raíz: $$d(x) = \sqrt{(x^2 - 4x + 4) + (x + 1)} = \sqrt{x^2 - 3x + 5}$$ 💡 **Tip:** Minimizar la distancia $d(x)$ es equivalente a minimizar el cuadrado de la distancia $D(x) = [d(x)]^2$, lo que simplifica notablemente los cálculos al eliminar la raíz cuadrada.

Definimos la función a minimizar como: $$D(x) = x^2 - 3x + 5$$ Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada e igualamos a cero: $$D'(x) = 2x - 3$$ Igualamos a cero: $$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$$ Como $x = 1,5$ pertenece al dominio de la función ($1,5 \gt -1$), es un candidato a mínimo. 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos críticos donde se alcanzan los máximos o mínimos se encuentran igualando la derivada a cero ($f'(x)=0$).

Para confirmar que en $x = \frac{3}{2}$ existe un mínimo absoluto, podemos usar la segunda derivada o estudiar el signo de la primera. Calculamos la segunda derivada: $$D''(x) = 2$$ Como $D''(x) = 2 \gt 0$ para cualquier valor de $x$, la función es siempre cóncava hacia arriba (convexa), lo que garantiza que el punto crítico hallado es un **mínimo relativo**. También podemos ver el cambio de signo de $D'(x)$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-1, 1.5) & 1.5 & (1.5, +\infty)\\ \hline D'(x) = 2x-3 & - & 0 & + \end{array} $$ Al pasar de decreciente a creciente en $x = 1,5$, confirmamos la existencia del mínimo. $$\boxed{x = 1,5}$$

Ahora calculamos la ordenada $y$ del punto de la trayectoria sustituyendo $x = 1,5$ en $f(x)$: $$y = f(1,5) = \sqrt{1,5 + 1} = \sqrt{2,5}$$ Podemos expresar este valor de forma exacta usando fracciones: $$y = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$ Por tanto, el punto de la trayectoria es: $$\boxed{Q(1.5, \sqrt{2.5}) \approx (1.5, 1.58)}$$

Finalmente, calculamos la distancia mínima sustituyendo $x = 1,5$ en la función de distancia $d(x)$: $$d(1,5) = \sqrt{(1,5)^2 - 3(1,5) + 5}$$ $$d(1,5) = \sqrt{2,25 - 4,5 + 5} = \sqrt{2,75}$$ En formato de fracción exacta: $$d = \sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$$ Si aproximamos el valor: $$d \approx \frac{3,3166}{2} \approx 1,658 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado Final:** $$\boxed{\text{Punto: } (1.5, \sqrt{2.5}) \quad \text{Distancia: } \frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1,66}$$