Intersección de rectas y plano paralelo a una recta

**a) [1,5 puntos] Determina $k$ sabiendo que ambas se cortan en un punto.** En primer lugar, extraemos un punto y un vector director de cada recta a partir de sus ecuaciones continuas: Para la recta $r$: - Punto $P_r = (0, 2, k)$ - Vector director $\vec{v}_r = (1, -1, 2)$ Para la recta $s$: - Punto $P_s = (-2, -3, 1)$ - Vector director $\vec{v}_s = (-1, 2, 1)$ Calculamos el vector que une ambos puntos: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (-2 - 0, -3 - 2, 1 - k) = (-2, -5, 1 - k)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(a, b, c)$.

Para que dos rectas se corten en un punto, se deben cumplir dos condiciones: 1. Los vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ **no deben ser proporcionales** (no son paralelas). 2. El determinante formado por $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y $\vec{P_r P_s}$ debe ser **cero** (son coplanarias). Comprobamos la proporcionalidad: $$\frac{1}{-1} \neq \frac{-1}{2} \neq \frac{2}{1} \implies \text{No son paralelas.}$$ Calculamos el determinante e igualamos a cero: $$\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ -2 & -5 & 1-k \end{vmatrix} = 0$$ 💡 **Tip:** Si el determinante fuera distinto de cero, las rectas se cruzarían en el espacio.

Aplicamos la regla de Sarrus para desarrollar el determinante: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ -2 & -5 & 1-k \end{vmatrix} = [1 \cdot 2 \cdot (1-k) + (-1) \cdot 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot (-5) \cdot 2] - [2 \cdot 2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-5) \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) \cdot (1-k)]$$ $$= [2 - 2k + 2 + 10] - [-8 - 5 + (1 - k)]$$ $$= [14 - 2k] - [-13 + 1 - k]$$ $$= 14 - 2k - (-12 - k) = 14 - 2k + 12 + k = 26 - k$$ Para que se corten, imponemos: $$26 - k = 0 \implies k = 26$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 26}$$

**b) [1 punto] Para $k = 0$, halla la ecuación general del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$.** Si el plano $\pi$ contiene a $r$, entonces: - El punto $P_r$ pertenece al plano. - El vector director de $r$, $\vec{v}_r$, es un vector contenido en el plano. Si el plano $\pi$ es paralelo a $s$, el vector director de $s$, $\vec{v}_s$, es un vector director del plano. Para $k=0$, los elementos son: - Punto: $P_r = (0, 2, 0)$ - Vector $\vec{u} = \vec{v}_r = (1, -1, 2)$ - Vector $\vec{v} = \vec{v}_s = (-1, 2, 1)$

El vector normal $\vec{n}$ del plano se obtiene mediante el producto vectorial de sus dos vectores directores: $$\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n} = [(-1 \cdot 1) \vec{i} + (2 \cdot (-1)) \vec{j} + (1 \cdot 2) \vec{k}] - [(-1 \cdot (-1)) \vec{k} + (2 \cdot 2) \vec{i} + (1 \cdot 1) \vec{j}]$$ $$\vec{n} = [-\vec{i} - 2\vec{j} + 2\vec{k}] - [\vec{k} + 4\vec{i} + \vec{j}]$$ $$\vec{n} = (-1-4)\vec{i} + (-2-1)\vec{j} + (2-1)\vec{k} = (-5, -3, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ define los coeficientes de la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

La ecuación del plano es de la forma: $$-5x - 3y + z + D = 0$$ Sustituimos el punto $P_r(0, 2, 0)$ para hallar $D$: $$-5(0) - 3(2) + 0 + D = 0 \implies -6 + D = 0 \implies D = 6$$ La ecuación queda: $$-5x - 3y + z + 6 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener una expresión más usual: $$5x + 3y - z - 6 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{5x + 3y - z - 6 = 0}$$