Intersección de rectas y plano paralelo

**a) [1,5 puntos] Determina $k$ sabiendo que ambas se cortan en un punto.** Si dos rectas están dadas en forma simétrica, una forma cómoda de trabajar es pasarlas a forma paramétrica. Para $$r \equiv \frac{x}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-k}{2},$$ tomamos $t$ como parámetro: $$\frac{x}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-k}{2}=t.$$ Entonces: $$x=t,\qquad y-2=-t\Rightarrow y=2-t,\qquad z-k=2t\Rightarrow z=k+2t.$$ Para $$s \equiv \frac{x+2}{-1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-1}{1},$$ tomamos $u$ como parámetro: $$\frac{x+2}{-1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-1}{1}=u.$$ Entonces: $$x+2=-u\Rightarrow x=-2-u,\qquad y+3=2u\Rightarrow y=-3+2u,\qquad z-1=u\Rightarrow z=1+u.$$ 💡 **Tip:** Si dos rectas se cortan, debe existir un punto común: eso se traduce en que hay valores de los parámetros $t$ y $u$ que hacen coincidir las tres coordenadas.

Si $r$ y $s$ se cortan, existe un punto común, es decir, existen $t$ y $u$ tales que: $$\begin{cases} t=-2-u \\ 2-t=-3+2u \\ k+2t=1+u \end{cases}$$ De la primera ecuación: $$t=-2-u.$$ Sustituimos en la segunda: $$2-(-2-u)=-3+2u\Rightarrow 4+u=-3+2u\Rightarrow u=7.$$ Y entonces: $$t=-2-7=-9.$$ 💡 **Tip:** Normalmente conviene resolver primero las dos ecuaciones que no contienen el parámetro $k$ para hallar $t$ y $u$, y dejar $k$ para el final.

Usamos la tercera ecuación del sistema: $$k+2t=1+u.$$ Sustituimos $t=-9$ y $u=7$: $$k+2(-9)=1+7\Rightarrow k-18=8\Rightarrow k=26.$$ Ahora hallamos el punto de corte (por ejemplo, sustituyendo en $r$): $$x=t=-9,\qquad y=2-t=2-(-9)=11,\qquad z=k+2t=26+2(-9)=8.$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{k=26}$$ $$\boxed{r\cap s=(-9,\,11,\,8)}$$

**b) [1 punto] Para $k=0$, halla la ecuación general del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$.** Para $k=0$, la recta $r$ queda: $$x=t,\quad y=2-t,\quad z=2t.$$ Tomamos un punto de $r$ (por ejemplo, con $t=0$): $$P_0=(0,\,2,\,0).$$ El vector director de $r$ se lee de sus ecuaciones paramétricas: $$\vec v_r=(1,\,-1,\,2).$$ El vector director de $s$ se obtiene de los denominadores de la forma simétrica: $$\vec v_s=(-1,\,2,\,1).$$ Un plano que **contiene** a $r$ debe contener al vector $\vec v_r$. Y si el plano es **paralelo** a $s$, entonces debe tener una dirección paralela a $s$, es decir, también debe contener un vector paralelo a $\vec v_s$ (podemos usar $\vec v_s$ tal cual). 💡 **Tip:** Para definir un plano basta con: **un punto** del plano y **dos vectores no paralelos** contenidos en él.

Un vector normal del plano se obtiene como producto vectorial: $$\vec n=\vec v_r\times \vec v_s= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 1 & -1 & 2\\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix}.$$ Calculamos componente a componente: - Componente $x$: $$(-1)\cdot 1-2\cdot 2=-1-4=-5.$$ - Componente $y$: $$-\big(1\cdot 1-2\cdot(-1)\big)=-\big(1+2\big)=-3.$$ - Componente $z$: $$1\cdot 2-(-1)\cdot(-1)=2-1=1.$$ Por tanto: $$\vec n=(-5,\,-3,\,1).$$ Ecuación del plano que pasa por $P_0=(0,2,0)$: $$-5(x-0)-3(y-2)+1(z-0)=0.$$ Simplificando: $$-5x-3y+6+z=0\Rightarrow 5x+3y-z-6=0.$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{5x+3y-z-6=0}$$ 💡 **Tip:** Si el plano tiene normal $(A,B,C)$ y pasa por $(x_0,y_0,z_0)$, entonces $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$.