Distribución normal y control de calidad

**a) [1,25 puntos] En circunstancias ideales, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?** Definimos la variable aleatoria $X$ como el diámetro de las bolas en circunstancias ideales. Según el enunciado: $$X \sim N(13, \, 0.1)$$ Un rodamiento es óptimo si su diámetro está en el intervalo $[12.9, \, 13.15]$. Buscamos la probabilidad: $$P(12.9 \le X \le 13.15)$$ Para calcular esta probabilidad, tipificamos la variable $X$ para convertirla en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(12.9 \le X \le 13.15) = P\left(\frac{12.9 - 13}{0.1} \le Z \le \frac{13.15 - 13}{0.1}\right)$$ Realizamos las operaciones: $$P\left(\frac{-0.1}{0.1} \le Z \le \frac{0.15}{0.1}\right) = P(-1 \le Z \le 1.5)$$ 💡 **Tip:** Tipificar permite usar las tablas de la normal estándar $N(0,1)$. Recuerda que $\mu$ es la media y $\sigma$ la desviación típica.

Descomponemos la probabilidad del intervalo utilizando las propiedades de la función de distribución: $$P(-1 \le Z \le 1.5) = P(Z \le 1.5) - P(Z \le -1)$$ Como las tablas solo suelen mostrar valores positivos de $z$, aplicamos la simetría de la normal para $P(Z \le -1)$: $$P(Z \le -1) = P(Z \ge 1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Sustituyendo en la expresión anterior: $$P(-1 \le Z \le 1.5) = P(Z \le 1.5) - [1 - P(Z \le 1)]$$ Buscamos los valores en la tabla $N(0, 1)$: - $P(Z \le 1.5) = 0.9332$ - $P(Z \le 1) = 0.8413$ Calculamos el resultado final: $$0.9332 - (1 - 0.8413) = 0.9332 - 0.1587 = 0.7745$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{óptimo ideal}) = 0.7745}$$

**b) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el 15 de julio la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?** El 15 de julio, debido al calor, las condiciones cambian. Definimos la nueva variable $Y$ como el diámetro de las bolas ese día: $$Y \sim N(12.9, \, 0.2)$$ El criterio de optimicidad sigue siendo el mismo: el diámetro debe estar entre $12.9$ y $13.15$. Buscamos: $$P(12.9 \le Y \le 13.15)$$ Tipificamos nuevamente con los nuevos parámetros $\mu = 12.9$ y $\sigma = 0.2$: $$P(12.9 \le Y \le 13.15) = P\left(\frac{12.9 - 12.9}{0.2} \le Z \le \frac{13.15 - 12.9}{0.2}\right)$$ $$P\left(\frac{0}{0.2} \le Z \le \frac{0.25}{0.2}\right) = P(0 \le Z \le 1.25)$$ 💡 **Tip:** Fíjate que al cambiar la media al límite inferior del intervalo óptimo, la probabilidad se concentrará de forma distinta.

Calculamos la probabilidad del intervalo: $$P(0 \le Z \le 1.25) = P(Z \le 1.25) - P(Z \le 0)$$ Sabemos que en una distribución normal estándar, la probabilidad acumulada hasta la media (0) es siempre $0.5$: $$P(Z \le 0) = 0.5$$ Buscamos en la tabla $N(0, 1)$ el valor para $z = 1.25$: - $P(Z \le 1.25) = 0.8944$ Realizamos la resta: $$0.8944 - 0.5 = 0.3944$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{óptimo } 15/07) = 0.3944}$$ Podemos observar que la probabilidad de obtener piezas óptimas se reduce drásticamente (de un $77.45\%$ a un $39.44\%$) debido al fallo en la refrigeración.