Probabilidad y Estadística 2025 Andalucia
Probabilidad con distribución normal en control de calidad
Los rodamientos de las ruedas de un coche se configuran con unas bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media 13 mm y desviación típica 0,1 mm. Para que el funcionamiento del rodamiento sea óptimo el diámetro debe estar entre 12,9 mm y 13,15 mm. No obstante, la máquina que los elabora es muy sensible a los cambios de temperatura y pierde eficacia cuando ésta sube considerablemente. El 15 de julio, tras una rotura del sistema de refrigeración, la máquina configura bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media 12,9 mm y desviación típica 0,2 mm.
a) [1,25 puntos] En circunstancias ideales, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?
b) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el 15 de julio la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?
Paso 1
Identificar la variable aleatoria y el intervalo de óptimo
**a) [1,25 puntos] En circunstancias ideales, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?**
Sea $X$ el diámetro (en mm) de una bola.
(No olvides nunca definir la variable de estudio.
El rodamiento es óptimo cuando el diámetro está en el intervalo:
$$12{,}9\le X\le 13{,}15.$$
💡 **Tip:** En problemas de normal, lo primero es traducir el enunciado a un evento del tipo $a\le X\le b$.
**Evento óptimo:**
$$\boxed{\text{Óptimo}\iff 12{,}9\le X\le 13{,}15}$$
Paso 2
Plantear la probabilidad en circunstancias ideales y tipificar
En circunstancias ideales:
$$X\sim\mathcal{N}(13,\,0{,}1).$$
La probabilidad pedida es:
$$P(12{,}9\le X\le 13{,}15).$$
Tipificamos con
$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma},\quad Z\sim\mathcal{N}(0,1),$$
con $\mu=13$ y $\sigma=0{,}1$:
$$P(12{,}9\le X\le 13{,}15)=P\left(\frac{12{,}9-13}{0{,}1}\le Z\le \frac{13{,}15-13}{0{,}1}\right).$$
Calculamos:
$$\frac{12{,}9-13}{0{,}1}=-1,\qquad \frac{13{,}15-13}{0{,}1}=1{,}5.$$
💡 **Tip:** Tipificar siempre con $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ convierte el problema a la normal estándar, que es la que aparece en las tablas.
**Probabilidad a calcular tras tipificar:**
$$\boxed{P(12{,}9\le X\le 13{,}15)=P(-1\le Z\le 1{,}5)}$$
Paso 3
Calcular la probabilidad ideal usando tabla sin escribir $\Phi$
De la tabla de la normal estándar tomamos los valores como probabilidades acumuladas:
- $P(Z\le 1)=0{,}8413$.
- $P(Z\le 1{,}5)=0{,}9332$.
Además, por simetría:
$$P(Z\le -1)=1-P(Z\le 1)=1-0{,}8413=0{,}1587.$$
Entonces:
$$P(-1\le Z\le 1{,}5)=P(Z\le 1{,}5)-P(Z\le -1)=0{,}9332-0{,}1587=0{,}7745.$$
💡 **Tip:** Para un intervalo $[a,b]$: $P(a\le Z\le b)=P(Z\le b)-P(Z\le a)$. Y usa simetría: $P(Z\le -c)=1-P(Z\le c)$.
✅ **Resultado (apartado a):**
$$\boxed{P(12{,}9\le X\le 13{,}15)\approx 0{,}7745\ \,(77{,}45\%) }$$
Paso 4
Plantear la probabilidad el 15 de julio y tipificar
**Apartado b) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el 15 de julio la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?**
El 15 de julio, el diámetro sigue:
$$Y\sim\mathcal{N}(12{,}9,\,0{,}2).$$
La probabilidad pedida es:
$$P(12{,}9\le Y\le 13{,}15).$$
Tipificamos con
$$Z=\frac{Y-\mu}{\sigma},\quad Z\sim\mathcal{N}(0,1),$$
con $\mu=12{,}9$ y $\sigma=0{,}2$:
$$P(12{,}9\le Y\le 13{,}15)=P\left(\frac{12{,}9-12{,}9}{0{,}2}\le Z\le \frac{13{,}15-12{,}9}{0{,}2}\right).$$
Calculamos:
$$\frac{12{,}9-12{,}9}{0{,}2}=0,\qquad \frac{13{,}15-12{,}9}{0{,}2}=\frac{0{,}25}{0{,}2}=1{,}25.$$
💡 **Tip:** Si el límite inferior coincide con la media ($Y=\mu$), al tipificar sale $Z=0$ automáticamente.
**Probabilidad a calcular tras tipificar:**
$$\boxed{P(12{,}9\le Y\le 13{,}15)=P(0\le Z\le 1{,}25)}$$
Paso 5
Calcular la probabilidad del 15 de julio sin escribir $\Phi$ y visualizar ambas normales
**Apartado b) [1,25 puntos]**
De la tabla de la normal estándar:
- $P(Z\le 1{,}25)=0{,}8944$.
- $P(Z\le 0)=0{,}5$.
Entonces:
$$P(0\le Z\le 1{,}25)=P(Z\le 1{,}25)-P(Z\le 0)=0{,}8944-0{,}5=0{,}3944.$$
💡 **Tip:** Recuerda que la normal estándar es simétrica: $P(Z\le 0)=0{,}5$.
✅ **Resultado (apartado b):**
$$\boxed{P(12{,}9\le Y\le 13{,}15)\approx 0{,}3944\ \,(39{,}44\%) }$$