Invertibilidad y cálculo de la matriz inversa con parámetro

**a) [1 punto] Indica para qué valores de $\alpha$ la matriz $A$ admite inversa.** Una matriz cuadrada admite inversa si y solo si su determinante es distinto de cero: $$A\text{ es invertible }\iff \det(A)\ne 0.$$ Dada $$A=\begin{pmatrix}\alpha & \alpha+4 & 0\\ 1 & \alpha & 1\\ 0 & \alpha+4 & \alpha\end{pmatrix},$$ calculamos $\det(A)$ desarrollando por la primera fila (es cómodo porque hay un $0$): $$\det(A)=\alpha\,\det\begin{pmatrix}\alpha & 1\\ \alpha+4 & \alpha\end{pmatrix}-(\alpha+4)\,\det\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & \alpha\end{pmatrix}+0\cdot(\cdots).$$ Calculamos los determinantes $2\times 2$: $$\det\begin{pmatrix}\alpha & 1\\ \alpha+4 & \alpha\end{pmatrix}=\alpha\cdot\alpha-1\cdot(\alpha+4)=\alpha^2-\alpha-4,$$ $$\det\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & \alpha\end{pmatrix}=1\cdot\alpha-1\cdot 0=\alpha.$$ Sustituyendo: $$\det(A)=\alpha(\alpha^2-\alpha-4)-(\alpha+4)\alpha.$$ 💡 **Tip:** En una matriz con ceros, conviene desarrollar el determinante por la fila/columna con más ceros para simplificar cálculos. **Determinante en forma inicial:** $$\boxed{\det(A)=\alpha(\alpha^2-\alpha-4)-(\alpha+4)\alpha}$$

Simplificamos: $$\det(A)=\alpha\big[(\alpha^2-\alpha-4)-(\alpha+4)\big]=\alpha(\alpha^2-2\alpha-8).$$ Factorizamos el trinomio: $$\alpha^2-2\alpha-8=(\alpha-4)(\alpha+2).$$ Por tanto, $$\det(A)=\alpha(\alpha-4)(\alpha+2).$$ Así, $\det(A)=0$ si y solo si $$\alpha=0\quad\text{o}\quad \alpha=4\quad\text{o}\quad \alpha=-2.$$ 💡 **Tip:** Para saber cuándo existe $A^{-1}$, no hace falta calcular la inversa: basta con estudiar cuándo $\det(A)\neq 0$. ✅ **Resultado (apartado a):** Mira bien cómo se ha expresado la solución empleando lenguaje matemático. $$\boxed{A\text{ es invertible }\iff \alpha\in\mathbb{R}\setminus\{-2,0,4\}}$$

**b) [1,5 puntos] Para $\alpha=1$ determina, si es posible, la matriz inversa de $A$.** Sustituimos $\alpha=1$: $$A=\begin{pmatrix}1 & 5 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 5 & 1\end{pmatrix}.$$ Como en el apartado a) vimos que solo falla para $\alpha\in\{-2,0,4\}$, y $1\notin\{-2,0,4\}$, **sí existe** $A^{-1}$. Comprobación rápida con el determinante: $$\det(A)=\alpha(\alpha-4)(\alpha+2)\Big|_{\alpha=1}=1\cdot(1-4)\cdot(1+2)=-9\ne 0.$$ 💡 **Tip:** Antes de lanzarte a calcular $A^{-1}$, verifica siempre que $\det(A)\neq 0$ (si no, no existe inversa). **Existencia de la inversa para $\alpha=1$:** $$\boxed{\det(A)=-9\neq 0\ \Rightarrow\ A^{-1}\ \text{existe}}$$

Recordamos que $$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A),$$ donde $\operatorname{adj}(A)$ es la traspuesta de la matriz de cofactores. Para $$A=\begin{pmatrix}1 & 5 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 5 & 1\end{pmatrix},$$ calculamos los cofactores $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ (siendo $M_{ij}$ el menor): - $C_{11}=+\det\begin{pmatrix}1 & 1\\ 5 & 1\end{pmatrix}=1\cdot 1-1\cdot 5=-4$. - $C_{12}=-\det\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}=-(1\cdot 1-1\cdot 0)=-1$. - $C_{13}=+\det\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 5\end{pmatrix}=1\cdot 5-1\cdot 0=5$. - $C_{21}=-\det\begin{pmatrix}5 & 0\\ 5 & 1\end{pmatrix}=-(5\cdot 1-0\cdot 5)=-5$. - $C_{22}=+\det\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot 1-0\cdot 0=1$. - $C_{23}=-\det\begin{pmatrix}1 & 5\\ 0 & 5\end{pmatrix}=-(1\cdot 5-5\cdot 0)=-5$. - $C_{31}=+\det\begin{pmatrix}5 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix}=5\cdot 1-0\cdot 1=5$. - $C_{32}=-\det\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix}=-(1\cdot 1-0\cdot 1)=-1$. - $C_{33}=+\det\begin{pmatrix}1 & 5\\ 1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot 1-5\cdot 1=-4$. Así, la matriz de cofactores es $$C=\begin{pmatrix}-4 & -1 & 5\\ -5 & 1 & -5\\ 5 & -1 & -4\end{pmatrix},$$ y la adjunta (traspuesta de $C$) es $$\operatorname{adj}(A)=C^T=\begin{pmatrix}-4 & -5 & 5\\ -1 & 1 & -1\\ 5 & -5 & -4\end{pmatrix}.$$ 💡 **Tip:** La adjunta se obtiene trasponiendo la matriz de cofactores: $\operatorname{adj}(A)=C^T$. **Matriz adjunta:** $$\boxed{\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}-4 & -5 & 5\\ -1 & 1 & -1\\ 5 & -5 & -4\end{pmatrix}}$$

Como $\det(A)=-9$: $$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A)=\frac{1}{-9}\,\operatorname{adj}(A)=-\frac{1}{9}\begin{pmatrix}-4 & -5 & 5\\ -1 & 1 & -1\\ 5 & -5 & -4\end{pmatrix}.$$ Multiplicando por $-\dfrac{1}{9}$: $$A^{-1}=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}4 & 5 & -5\\ 1 & -1 & 1\\ -5 & 5 & 4\end{pmatrix}.$$ 💡 **Tip:** Multiplicar por $-\dfrac{1}{9}$ cambia el signo de todas las entradas y divide entre $9$. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{A^{-1}=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}4 & 5 & -5\\ 1 & -1 & 1\\ -5 & 5 & 4\end{pmatrix}}$$