Invertibilidad de una matriz con parámetros y cálculo de la inversa

**a) [1 punto] Indica para qué valores de $\alpha$ la matriz $A$ admite inversa.** Una matriz cuadrada $A$ admite inversa (es regular) si y solo si su determinante es distinto de cero: $\det(A) \neq 0$. Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus o desarrollando por una fila/columna. En este caso, aplicamos Sarrus: $$\det(A) = \begin{vmatrix} \alpha & \alpha + 4 & 0 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 0 & \alpha + 4 & \alpha \end{vmatrix}$$ $$\det(A) = (\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha) + ((\alpha+4) \cdot 1 \cdot 0) + (0 \cdot 1 \cdot (\alpha+4)) - (0 \cdot \alpha \cdot 0) - ((\alpha+4) \cdot 1 \cdot \alpha) - (\alpha \cdot 1 \cdot (\alpha+4))$$ $$\det(A) = \alpha^3 + 0 + 0 - 0 - (\alpha^2 + 4\alpha) - (\alpha^2 + 4\alpha)$$ $$\det(A) = \alpha^3 - 2(\alpha^2 + 4\alpha) = \alpha^3 - 2\alpha^2 - 8\alpha$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es invertible si y solo si su determinante es no nulo. Si el determinante es cero, la matriz es singular.

Para hallar cuándo la matriz NO tiene inversa, igualamos el determinante a cero: $$\alpha^3 - 2\alpha^2 - 8\alpha = 0$$ Factorizamos la expresión extrayendo factor común $\alpha$: $$\alpha(\alpha^2 - 2\alpha - 8) = 0$$ Esto nos da una primera solución: **$\alpha_1 = 0$**. Resolvemos la ecuación de segundo grado restante $\alpha^2 - 2\alpha - 8 = 0$: $$\alpha = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$$ Las otras dos soluciones son: $$\alpha_2 = \frac{2+6}{2} = 4, \quad \alpha_3 = \frac{2-6}{2} = -2$$ Por tanto, la matriz $A$ no tiene inversa si $\alpha \in \{0, 4, -2\}$.

La matriz $A$ admite inversa para todos los valores reales de $\alpha$ excepto para $0, 4$ y $-2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A admite inversa } \forall \alpha \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 0, 4\}}$$

**b) [1,5 puntos] Para $\alpha = 1$ determina, si es posible, la matriz inversa de $A$.** Primero, comprobamos si para $\alpha = 1$ la matriz es invertible. Según el apartado anterior, como $1 \notin \{-2, 0, 4\}$, la matriz admite inversa. Sustituimos $\alpha = 1$ en la expresión del determinante hallada en el paso 1: $$\det(A) = 1^3 - 2(1)^2 - 8(1) = 1 - 2 - 8 = -9$$ Como $\det(A) = -9 \neq 0$, procedemos a calcular $A^{-1}$ usando la fórmula: $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A)^T$$ La matriz para $\alpha = 1$ es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}$$

Calculamos los adjuntos $A_{ij}$ de cada elemento de la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 5 = -4$ $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 0) = -1$ $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 0 = 5$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = -(5 - 0) = -5$ $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$ $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = -(5 - 0) = -5$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 5 - 0 = 5$ $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 0) = -1$ $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 5 = -4$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -4 & -1 & 5 \\ -5 & 1 & -5 \\ 5 & -1 & -4 \end{pmatrix}$$

Ahora trasponemos la matriz adjunta: $$\text{Adj}(A)^T = \begin{pmatrix} -4 & -5 & 5 \\ -1 & 1 & -1 \\ 5 & -5 & -4 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $\det(A) = -9$: $$A^{-1} = \frac{1}{-9} \begin{pmatrix} -4 & -5 & 5 \\ -1 & 1 & -1 \\ 5 & -5 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/9 & 5/9 & -5/9 \\ 1/9 & -1/9 & 1/9 \\ -5/9 & 5/9 & 4/9 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Puedes verificar el resultado multiplicando $A \cdot A^{-1}$, el resultado debe ser la matriz identidad $I$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 4/9 & 5/9 & -5/9 \\ 1/9 & -1/9 & 1/9 \\ -5/9 & 5/9 & 4/9 \end{pmatrix}}$$