Geometría en el espacio 2025 Andalucia
Simetría respecto de un plano y planos paralelos a distancia dada
Considera el plano $\pi \equiv 2x+y+2z+5=0$.
a) [1,5 puntos] Calcula el punto simétrico de $P(1,0,1)$ respecto de $\pi$.
b) [1 punto] Calcula los planos paralelos a $\pi$ y que disten $2$ unidades de $\pi$.
Paso 1
Recta perpendicular al plano por $P$ y punto de corte (punto medio)
**a) [1,5 puntos] Calcula el punto simétrico de $P(1,0,1)$ respecto de $\pi$.**
El plano está en forma general $ax+by+cz+d=0$ con
$$a=2,\quad b=1,\quad c=2,\quad d=5.$$
Un vector normal al plano es
$$\vec n=(a,b,c)=(2,1,2).$$
La recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $P(1,0,1)$ tiene como dirección $\vec n$:
$$r:\ (x,y,z)=(1,0,1)+\lambda(2,1,2),\quad \lambda\in\mathbb{R}.$$
💡 **Tip:** En una simetría respecto de un plano, el punto $M=r\cap\pi$ es el **punto medio** del segmento que une $P$ con su simétrico $P'$.
Buscamos el punto $M=r\cap\pi$. Sustituimos $x=1+2\lambda$, $y=\lambda$, $z=1+2\lambda$ en el plano:
$$2(1+2\lambda)+\lambda+2(1+2\lambda)+5=0.$$
$M$ es el punto medio de $PP'$ y $r$ es perpendicular a $\pi$.
Paso 2
Calcular $M$ y obtener el simétrico $P'$ usando punto medio
Resolvemos la ecuación para $\lambda$:
$$2(1+2\lambda)+\lambda+2(1+2\lambda)+5=0$$
$$2+4\lambda+\lambda+2+4\lambda+5=0$$
$$9+9\lambda=0\quad\Longrightarrow\quad \lambda=-1.$$
Entonces el punto de corte (punto medio) es
$$M=(1,0,1)+(-1)(2,1,2)=(1-2,\,0-1,\,1-2)=(-1,-1,-1).$$
💡 **Tip:** Si $M$ es el punto medio de $PP'$, entonces $\displaystyle M=\frac{P+P'}{2}$, y por tanto $\displaystyle P'=2M-P$.
Calculamos el simétrico:
$$P'=2M-P=2(-1,-1,-1)-(1,0,1)=(-2,-2,-2)-(1,0,1)=(-3,-2,-3).$$
✅ **Resultado (apartado a):**
$$\boxed{P'=(-3,-2,-3)}$$
Paso 3
Plantear los planos paralelos y usar la fórmula de distancia entre planos
**b) [1 punto] Calcula los planos paralelos a $\pi$ y que disten $2$ unidades de $\pi$.**
[Gráfico: plano $\pi$ y dos planos paralelos a ambos lados a distancia $2$ (misma normal), indicando la separación]
Los planos paralelos a $\pi: 2x+y+2z+5=0$ tienen el mismo vector normal, así que su forma es
$$\pi_k: 2x+y+2z+k=0,$$
donde $k\in\mathbb{R}$.
La distancia entre dos planos paralelos $ax+by+cz+d_1=0$ y $ax+by+cz+d_2=0$ es
$$\operatorname{dist}=\frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$
Aquí $d_1=5$, $d_2=k$ y
$$\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3,$$
por tanto:
$$\operatorname{dist}(\pi,\pi_k)=\frac{|k-5|}{3}.$$
💡 **Tip:** Planos paralelos comparten el mismo vector normal $(a,b,c)$; solo cambia el término independiente.
Paso 4
Imponer distancia 2 y obtener las dos soluciones
Imponemos que la distancia sea $2$:
$$\frac{|k-5|}{3}=2\quad\Longrightarrow\quad |k-5|=6.$$
Resolvemos el valor absoluto (dos casos):
1) $$k-5=6\quad\Longrightarrow\quad k=11.$$
2) $$k-5=-6\quad\Longrightarrow\quad k=-1.$$
✅ **Resultado (apartado b):**
$$\boxed{2x+y+2z+11=0\quad\text{y}\quad 2x+y+2z-1=0}$$