Simetría respecto a un plano y distancia entre planos paralelos

**a) [1,5 puntos] Calcula el punto simétrico de $P(1, 0, 1)$ respecto de $\pi$.** Para hallar el punto simétrico $P'$ de $P$ respecto al plano $\pi$, primero debemos trazar una recta $r$ que pase por $P$ y sea perpendicular a $\pi$. El vector normal del plano $\pi \equiv 2x + y + 2z + 5 = 0$ es: $$\vec{n}_\pi = (2, 1, 2).$$ Como la recta $r$ es perpendicular al plano, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ coincidirá con el vector normal del plano: $$\vec{v}_r = \vec{n}_\pi = (2, 1, 2).$$ Usando el punto $P(1, 0, 1)$, escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta $r$: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 + 2\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, su vector director es el vector normal del plano $(A, B, C)$ de la ecuación general del plano.

El punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$ es el punto medio entre $P$ y su simétrico $P'$. Sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano: $$2(1 + 2\lambda) + (\lambda) + 2(1 + 2\lambda) + 5 = 0.$$ Desarrollamos la ecuación para hallar $\lambda$: $$2 + 4\lambda + \lambda + 2 + 4\lambda + 5 = 0 \implies 9\lambda + 9 = 0 \implies 9\lambda = -9 \implies \lambda = -1.$$ Ahora calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda = -1$ en la recta $r$: $$x_M = 1 + 2(-1) = -1$$ $$y_M = -1$$ $$z_M = 1 + 2(-1) = -1$$ El punto de intersección es **$M(-1, -1, -1)$**.

Como $M$ es el punto medio del segmento $PP'$, se cumple que: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P.$$ Siendo $P'(x', y', z')$, calculamos cada componente: $$x' = 2(-1) - 1 = -3$$ $$y' = 2(-1) - 0 = -2$$ $$z' = 2(-1) - 1 = -3$$ Por tanto, el punto simétrico es $P'(-3, -2, -3)$. ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{P'(-3, -2, -3)}$$

**b) [1 punto] Calcula los planos paralelos a $\pi$ y que disten 2 unidades de $\pi$.** Cualquier plano paralelo a $\pi \equiv 2x + y + 2z + 5 = 0$ tiene la forma: $$\pi_k \equiv 2x + y + 2z + D = 0.$$ La distancia entre dos planos paralelos $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ y $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ viene dada por la fórmula: $$d(\pi, \pi_k) = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$$ En nuestro caso, $A=2, B=1, C=2, D_1=5$ y $D_2=D$. Queremos que la distancia sea 2: $$\frac{|D - 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = 2 \implies \frac{|D - 5|}{\sqrt{9}} = 2 \implies \frac{|D - 5|}{3} = 2.$$ Esto nos da dos posibilidades: 1. $|D - 5| = 6 \implies D - 5 = 6 \implies D = 11$. 2. $|D - 5| = 6 \implies D - 5 = -6 \implies D = -1$. 💡 **Tip:** También podrías elegir un punto cualquiera de $\pi$, por ejemplo $Q(0, -5, 0)$, y aplicar la fórmula de distancia de un punto a un plano genérico $2x+y+2z+D=0$. ✅ **Resultado (planos paralelos):** $$\boxed{\pi_1 \equiv 2x + y + 2z + 11 = 0, \quad \pi_2 \equiv 2x + y + 2z - 1 = 0}$$