Área de un triángulo y volumen de un tetraedro

**a) [1 punto] Calcula el área del triángulo de vértices $A, B$ y $C$.** Para calcular el área del triángulo formado por los puntos $A, B$ y $C$, primero necesitamos obtener dos vectores que partan de un mismo vértice, por ejemplo, los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Calculamos las componentes restando las coordenadas de los puntos: $$\vec{AB} = B - A = (1 - 3, 3 - (-1), -3 - 1) = (-2, 4, -4)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-2 - 3, -2 - (-1), 1 - 1) = (-5, -1, 0)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector que une dos puntos $P(x_1, y_1, z_1)$ y $Q(x_2, y_2, z_2)$ se calcula como $\vec{PQ} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.

El área de un triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus vectores concurrentes: $Area = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$. Calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante de los vectores unitarios $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 4 & -4 \\ -5 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (0\vec{i} + 20\vec{j} + 2\vec{k}) - (-20\vec{k} + 4\vec{i} + 0\vec{j})$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = -4\vec{i} + 20\vec{j} + 22\vec{k}$$ Por tanto, el vector resultante es $(-4, 20, 22)$.

Calculamos el módulo del vector obtenido: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 20^2 + 22^2} = \sqrt{16 + 400 + 484} = \sqrt{900} = 30$$ Finalmente, aplicamos la fórmula del área: $$Área = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15 \text{ unidades cuadradas}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Área = 15 \text{ u}^2}$$

**b) [1,5 puntos] Halla los puntos $D$ pertenecientes al eje $OZ$ para que el tetraedro de vértices $A, B, C$ y $D$ tenga un volumen de 20 unidades cúbicas.** Cualquier punto $D$ perteneciente al eje $OZ$ tiene la forma $D(0, 0, z)$. Para calcular el volumen del tetraedro, necesitamos tres vectores que partan de un mismo vértice. Usaremos $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ (ya calculados) y $\vec{AD}$: $$\vec{AB} = (-2, 4, -4)$$ $$\vec{AC} = (-5, -1, 0)$$ $$\vec{AD} = D - A = (0 - 3, 0 - (-1), z - 1) = (-3, 1, z - 1)$$ 💡 **Tip:** El volumen de un tetraedro viene dado por $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$, donde el corchete representa el producto mixto (el determinante de los tres vectores).

Calculamos el producto mixto de los tres vectores mediante un determinante: $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} -2 & 4 & -4 \\ -5 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & z - 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$= [(-2)(-1)(z-1) + (4)(0)(-3) + (-4)(-5)(1)] - [(-4)(-1)(-3) + (4)(-5)(z-1) + (-2)(0)(1)]$$ $$= [2(z-1) + 0 + 20] - [-12 - 20(z-1) + 0]$$ $$= 2z - 2 + 20 + 12 + 20z - 20 = 22z + 10$$ El valor del producto mixto es $22z + 10$.

Sabemos que el volumen debe ser 20: $$V = \frac{1}{6} |22z + 10| = 20$$ $$|22z + 10| = 120$$ Esta ecuación con valor absoluto genera dos posibles casos: **Caso 1:** $$22z + 10 = 120 \implies 22z = 110 \implies z = \frac{110}{22} = 5$$ **Caso 2:** $$22z + 10 = -120 \implies 22z = -130 \implies z = -\frac{130}{22} = -\frac{65}{11}$$ Obtenemos así dos puntos posibles para $D$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{D_1(0, 0, 5) \text{ y } D_2\left(0, 0, -\frac{65}{11}\right)}$$