Área de un triángulo y volumen de un tetraedro en $\mathbb{R}^3$

**a) [1 punto] Calcula el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$.** El área del triángulo $ABC$ se puede hallar con $$\text{Área}(ABC)=\frac{1}{2}\,\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|.$$ Calculamos primero los vectores (tomando como origen el punto $A$): $$\overrightarrow{AB}=B-A=(1-3,\,3-(-1),\,-3-1)=(-2,4,-4),$$ $$\overrightarrow{AC}=C-A=(-2-3,\,-2-(-1),\,1-1)=(-5,-1,0).$$ 💡 **Tip:** Para formar vectores en un triángulo, es cómodo usar el mismo origen (por ejemplo $A$): $\overrightarrow{AB}=B-A$ y $\overrightarrow{AC}=C-A$. Ahora calculamos el producto vectorial usando el determinante: $$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ -2 & 4 & -4\\ -5 & -1 & 0 \end{vmatrix}.$$ Desarrollamos (determinante por cofactores en la primera fila): $$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \mathbf{i}\begin{vmatrix}4 & -4\\ -1 & 0\end{vmatrix} -\mathbf{j}\begin{vmatrix}-2 & -4\\ -5 & 0\end{vmatrix} +\mathbf{k}\begin{vmatrix}-2 & 4\\ -5 & -1\end{vmatrix}.$$ Calculamos cada determinante $2\times 2$ paso a paso: $$\begin{vmatrix}4 & -4\\ -1 & 0\end{vmatrix}=4\cdot 0-(-4)(-1)=0-4=-4,$$ $$\begin{vmatrix}-2 & -4\\ -5 & 0\end{vmatrix}=(-2)\cdot 0-(-4)(-5)=0-20=-20,$$ $$\begin{vmatrix}-2 & 4\\ -5 & -1\end{vmatrix}=(-2)(-1)-4(-5)=2-(-20)=22.$$ Sustituimos: $$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\mathbf{i}(-4)-\mathbf{j}(-20)+\mathbf{k}(22)=(-4,20,22).$$ **Producto vectorial:** $$\boxed{\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-4,20,22)}$$

Calculamos el módulo del vector: $$\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{(-4)^2+20^2+22^2}.$$ Operando: $$(-4)^2=16,\quad 20^2=400,\quad 22^2=484,$$ $$\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{16+400+484}=\sqrt{900}=30.$$ Luego el área del triángulo es $$\text{Área}(ABC)=\frac{1}{2}\cdot 30=15.$$ 💡 **Tip:** El módulo de $(x,y,z)$ es $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Y para el área del triángulo: $\text{Área}=\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|$. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\text{Área}(ABC)=15\ \text{u}^2}$$

**b) [1,5 puntos] Halla los puntos $D$ pertenecientes al eje $OZ$ para que el tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$ y $D$ tenga un volumen de $20$ unidades cúbicas.** Si $D$ pertenece al eje $OZ$, entonces necesariamente tiene la forma $$D=(0,0,t),\quad t\in\mathbb{R}.$$ El volumen del tetraedro $ABCD$ se calcula mediante el producto mixto: $$V=\frac{1}{6}\,\left|\det\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\big)\right|.$$ 💡 **Tip:** En $\mathbb{R}^3$, el volumen de un tetraedro es $\dfrac{1}{6}$ del volumen del paralelepípedo generado por tres vectores con el mismo origen. Ya tenemos del apartado a): $$\overrightarrow{AB}=(-2,4,-4),\quad \overrightarrow{AC}=(-5,-1,0).$$ Calculamos $$\overrightarrow{AD}=D-A=(0-3,\,0-(-1),\,t-1)=(-3,1,t-1).$$ Por tanto, $$\det\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\big)= \begin{vmatrix} -2 & 4 & -4\\ -5 & -1 & 0\\ -3 & 1 & t-1 \end{vmatrix}.$$

Calculamos el determinante anterior con **Sarrus** (válido para $3\times 3$). Sea $$\Delta=\begin{vmatrix} -2 & 4 & -4\\ -5 & -1 & 0\\ -3 & 1 & t-1 \end{vmatrix}.$$ Sarrus: sumamos productos de diagonales “hacia abajo” y restamos los de “hacia arriba”. Diagonales hacia abajo: $$(-2)(-1)(t-1)+4\cdot 0\cdot(-3)+(-4)(-5)\cdot 1=2(t-1)+0+20.$$ Diagonales hacia arriba: $$(-4)(-1)(-3)+(-2)\cdot 0\cdot 1+4(-5)(t-1)=-12+0-20(t-1).$$ Entonces: $$\Delta=\big(2(t-1)+20\big)-\big(-12-20(t-1)\big)=22(t-1)+32=22t+10.$$ Ahora aplicamos la fórmula del volumen: $$V=\frac{1}{6}|\Delta|=\frac{1}{6}|22t+10|.$$ Imponemos $V=20$: $$\frac{1}{6}|22t+10|=20\quad\Longrightarrow\quad |22t+10|=120.$$ Resolvemos el valor absoluto (dos casos): 1) $$22t+10=120\quad\Longrightarrow\quad 22t=110\quad\Longrightarrow\quad t=5.$$ 2) $$22t+10=-120\quad\Longrightarrow\quad 22t=-130\quad\Longrightarrow\quad t=-\frac{130}{22}=-\frac{65}{11}.$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{D_1=(0,0,5),\qquad D_2=\left(0,0,-\frac{65}{11}\right)}$$ 💡 **Tip:** El valor absoluto en el volumen hace que haya, normalmente, dos soluciones simétricas (según el signo del determinante).