Integral definida de una función a trozos

Para calcular la integral definida de una función definida a trozos en un intervalo que contiene el punto de salto (en este caso $x=0$), debemos dividir la integral en la suma de las integrales de cada rama utilizando la propiedad de aditividad del intervalo: $$\int_{-\frac{\pi}{4}}^1 f(x) dx = \int_{-\frac{\pi}{4}}^0 f(x) dx + \int_0^1 f(x) dx$$ Sustituyendo cada tramo por su expresión correspondiente: $$f(x)=\begin{cases} x\sin(2x) & \text{si } x\le 0,\\ \cos(\pi x)-1 & \text{si } x>0. \end{cases}$$ Por tanto: $$I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^0 x \sin(2x) dx + \int_0^1 (\cos(\pi x) - 1) dx$$ 💡 **Tip:** Si el intervalo de integración $[a, b]$ contiene un punto $c$ donde la función cambia de definición, entonces $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$.

Calculamos primero la integral indefinida $\int x \sin(2x) dx$ utilizando el método de **integración por partes**. Elegimos: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \sin(2x) dx \implies v = \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2} \cos(2x)$ Aplicando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int x \sin(2x) dx = -\frac{x}{2} \cos(2x) - \int -\frac{1}{2} \cos(2x) dx = -\frac{x}{2} \cos(2x) + \frac{1}{2} \int \cos(2x) dx$$ $$\int x \sin(2x) dx = -\frac{x}{2} \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x) + C$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[-\frac{\pi}{4}, 0]$: $$I_1 = \left[ -\frac{x}{2} \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x) \right]_{-\frac{\pi}{4}}^0$$ Evaluamos en los límites: - Para $x = 0$: $F(0) = -\frac{0}{2} \cos(0) + \frac{1}{4} \sin(0) = 0 + 0 = 0$ - Para $x = -\frac{\pi}{4}$: $F(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{-\pi/4}{2} \cos(2 \cdot \frac{-\pi}{4}) + \frac{1}{4} \sin(2 \cdot \frac{-\pi}{4}) = \frac{\pi}{8} \cos(-\frac{\pi}{2}) + \frac{1}{4} \sin(-\frac{\pi}{2})$ Como $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ y $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$: $$F(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{8}(0) + \frac{1}{4}(-1) = -\frac{1}{4}$$ $$I_1 = 0 - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para integrar $\sin(ax)$ o $\cos(ax)$ debemos ajustar la constante derivando el argumento: $\int \sin(ax) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax)$.

Calculamos ahora la integral de la segunda rama, que es inmediata: $$I_2 = \int_0^1 (\cos(\pi x) - 1) dx = \left[ \frac{1}{\pi} \sin(\pi x) - x \right]_0^1$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: - Para $x = 1$: $G(1) = \frac{1}{\pi} \sin(\pi) - 1 = \frac{1}{\pi}(0) - 1 = -1$ - Para $x = 0$: $G(0) = \frac{1}{\pi} \sin(0) - 0 = 0 - 0 = 0$ $$I_2 = -1 - 0 = -1$$

Sumamos los resultados obtenidos en ambos tramos para hallar el valor total de la integral definida: $$\int_{-\frac{\pi}{4}}^1 f(x) dx = I_1 + I_2 = \frac{1}{4} + (-1) = \frac{1}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{3}{4}$$ El valor de la integral es $-0,75$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int_{-\frac{\pi}{4}}^1 f(x) dx = -\frac{3}{4}}$$