Integral definida de una función a trozos

Calcula $$\int_{-\pi/4}^{1} f(x)\,dx.$$ Como $f(x)$ está definida a trozos según el signo de $x$, y el intervalo $\left[-\dfrac{\pi}{4},1\right]$ cruza por $0$, separamos en dos integrales: - En $\left[-\dfrac{\pi}{4},0\right]$ se cumple $x\le 0$ y entonces $f(x)=x\sin(2x)$. - En $\left(0,1\right]$ se cumple $x>0$ y entonces $f(x)=\cos(\pi x)-1$. Por tanto, $$\int_{-\pi/4}^{1} f(x)\,dx=\int_{-\pi/4}^{0} x\sin(2x)\,dx+\int_{0}^{1}\big(\cos(\pi x)-1\big)\,dx.$$ 💡 **Tip:** En funciones a trozos, **siempre** parte la integral en los puntos donde cambia la definición (aquí, en $x=0$). **La descomposición queda:** $$\boxed{\displaystyle \int_{-\pi/4}^{1} f(x)\,dx=I_1+I_2\ \text{con}\ I_1=\int_{-\pi/4}^{0} x\sin(2x)\,dx,\ I_2=\int_{0}^{1}(\cos(\pi x)-1)\,dx}$$

Calcula $$\int_{-\pi/4}^{1} f(x)\,dx.$$ Primero resolvemos $$I_1=\int_{-\pi/4}^{0} x\sin(2x)\,dx.$$ Usamos **integración por partes**. 💡 **Tip:** Fórmula de integración por partes: Un Día Ví Una Vaca y un Soldado Vestidos de Uniforme. $$\boxed{\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}$$ Elegimos: $$u=x\ \Rightarrow\ du=dx,$$ $$dv=\sin(2x)\,dx\ \Rightarrow\ v=\int \sin(2x)\,dx=-\frac{\cos(2x)}{2}.$$ Aplicamos la fórmula: $$I_1=\left[u\,v\right]_{-\pi/4}^{0}-\int_{-\pi/4}^{0} v\,du =\left[-\frac{x\cos(2x)}{2}\right]_{-\pi/4}^{0}+\int_{-\pi/4}^{0}\frac{\cos(2x)}{2}\,dx.$$ 1) Término de borde: $$\left[-\frac{x\cos(2x)}{2}\right]_{-\pi/4}^{0}=\left(-\frac{0\cdot\cos(0)}{2}\right)-\left(-\frac{(-\pi/4)\cos(-\pi/2)}{2}\right)=0-0=0,$$ porque $\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0$. 2) Integral restante: $$\int_{-\pi/4}^{0}\frac{\cos(2x)}{2}\,dx=\frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{0}\cos(2x)\,dx =\frac{1}{2}\left[\frac{\sin(2x)}{2}\right]_{-\pi/4}^{0} =\left[\frac{\sin(2x)}{4}\right]_{-\pi/4}^{0}.$$ Evaluamos: $$\frac{\sin(0)}{4}-\frac{\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)}{4}=0-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}.$$ **Primer tramo:** $$\boxed{I_1=\frac{1}{4}}$$

Calcula $$\int_{-\pi/4}^{1} f(x)\,dx.$$ Ahora resolvemos $$I_2=\int_{0}^{1}\big(\cos(\pi x)-1\big)\,dx=\int_{0}^{1}\cos(\pi x)\,dx-\int_{0}^{1}1\,dx.$$ 💡 **Tip:** Si aparece $\cos(ax)$ o $\sin(ax)$, recuerda: $$\int \cos(ax)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax)+C,\qquad \int \sin(ax)\,dx=-\frac{1}{a}\cos(ax)+C.$$ 1) $$\int_{0}^{1}\cos(\pi x)\,dx=\left[\frac{1}{\pi}\sin(\pi x)\right]_{0}^{1} =\frac{1}{\pi}\sin(\pi)-\frac{1}{\pi}\sin(0)=0.$$ 2) $$\int_{0}^{1}1\,dx=\left[x\right]_{0}^{1}=1.$$ Por tanto, $$I_2=0-1=-1.$$ Sumamos los dos tramos: $$\int_{-\pi/4}^{1} f(x)\,dx=I_1+I_2=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\displaystyle \int_{-\pi/4}^{1} f(x)\,dx=-\frac{3}{4}}$$