Área de un recinto acotado por una parábola y una recta horizontal

**a) [0,75 puntos] Esboza el recinto acotado y limitado por la gráfica de $f$ y la recta $y = a$ con $a > 0$.** Primero, analizamos la función $f(x) = (x - 1)^2$. Se trata de una parábola con las siguientes características: - **Vértice:** El mínimo se alcanza cuando el cuadrado es cero, es decir, en $x=1$. El vértice es $V(1, 0)$. - **Cortes con los ejes:** - Eje $Y$: $f(0) = (0-1)^2 = 1$. Punto $(0, 1)$. - Eje $X$: $(x-1)^2 = 0 \implies x=1$. Punto $(1, 0)$. - **Curvatura:** Como el coeficiente de $x^2$ es positivo, la parábola abre hacia arriba (convexa). La recta $y = a$ es una recta horizontal situada por encima del eje $X$ (ya que $a \gt 0$). El recinto será el área comprendida entre la parábola (por debajo) y la recta (por arriba). 💡 **Tip:** Para esbozar funciones cuadráticas del tipo $f(x) = (x-h)^2 + k$, recuerda que el vértice está en $(h, k)$. En este caso, $h=1$ y $k=0$.

**b) [1,75 puntos] Calcula $a > 0$ para que el área del recinto sea $\frac{4}{3}$ unidades cuadradas.** Para calcular el área, primero necesitamos los límites de integración, que son los puntos de corte entre $f(x) = (x-1)^2$ y $y = a$: $$(x-1)^2 = a$$ Aplicamos la raíz cuadrada en ambos lados: $$x-1 = \pm\sqrt{a} \implies x = 1 \pm \sqrt{a}$$ Los puntos de corte son: - Límite inferior: $x_1 = 1 - \sqrt{a}$ - Límite superior: $x_2 = 1 + \sqrt{a}$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas una ecuación del tipo $X^2 = k$, las soluciones son $\pm\sqrt{k}$. No olvides el doble signo, ya que define ambos extremos del recinto.

El área $A$ del recinto se calcula mediante la integral definida de la función superior (la recta $y=a$) menos la función inferior ($f(x)=(x-1)^2$): $$A = \int_{1-\sqrt{a}}^{1+\sqrt{a}} [a - (x-1)^2] \, dx$$ Podemos simplificar el cálculo aprovechando la **simetría** de la parábola respecto a su eje $x=1$. El área desde $1-\sqrt{a}$ hasta $1+\sqrt{a}$ es el doble de la que hay desde el vértice $x=1$ hasta $x=1+\sqrt{a}$: $$A = 2 \int_{1}^{1+\sqrt{a}} [a - (x-1)^2] \, dx$$ 💡 **Tip:** Usar la simetría en integrales de parábolas suele simplificar mucho los cálculos al introducir el 0 o el centro de simetría como límite de integración.

Calculamos la integral indefinida: $$\int [a - (x-1)^2] \, dx = ax - \frac{(x-1)^3}{3}$$ Ahora aplicamos la Regla de Barrow en el intervalo $[1, 1+\sqrt{a}]$: $$A = 2 \left[ ax - \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{1}^{1+\sqrt{a}}$$ Evaluamos en el límite superior: $$\left( a(1+\sqrt{a}) - \frac{(1+\sqrt{a}-1)^3}{3} \right) = a + a\sqrt{a} - \frac{(\sqrt{a})^3}{3} = a + a\sqrt{a} - \frac{a\sqrt{a}}{3} = a + \frac{2a\sqrt{a}}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=1$): $$\left( a(1) - \frac{(1-1)^3}{3} \right) = a$$ Restamos los resultados: $$A = 2 \left( a + \frac{2a\sqrt{a}}{3} - a \right) = 2 \left( \frac{2a\sqrt{a}}{3} \right) = \frac{4a\sqrt{a}}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(\sqrt{a})^3 = a\sqrt{a}$ o también $a^{3/2}$.

El enunciado nos dice que el área debe ser igual a $\frac{4}{3}$. Por tanto, igualamos nuestra expresión al valor dado: $$\frac{4a\sqrt{a}}{3} = \frac{4}{3}$$ Simplificamos dividiendo ambos lados por $\frac{4}{3}$: $$a\sqrt{a} = 1$$ $$a^{3/2} = 1$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros: $$a^3 = 1^2 \implies a^3 = 1$$ $$a = \sqrt[3]{1} = 1$$ Como el enunciado especifica que $a \gt 0$, la solución obtenida es válida. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1}$$