Área entre una parábola y una recta horizontal

**a) [0,75 puntos] Esboza el recinto acotado y limitado por la gráfica de $f$ y la recta $y=a$ con $a>0$.** La función $f(x)=(x-1)^2$ es una parábola que abre hacia arriba (convexa). - Su vértice está en $x=1$ y $f(1)=0$, luego el vértice es $V(1,0)$. - Su eje de simetría es la recta vertical $x=1$. - Como $f(x)\ge 0$ para todo $x$, la parábola está siempre por encima o sobre el eje $x$. 💡 **Tip:** Para esbozar una parábola de la forma $(x-h)^2+k$, recuerda: vértice $V(h,k)$ y abre hacia arriba si el coeficiente del cuadrado es positivo. El vértice es siempre $\dfrac{-b}{2a}$ **Datos clave de la parábola:** $$\boxed{V(1,0)\ \text{y eje de simetría}\ x=1}$$

Para encontrar el recinto limitado por la parábola y la recta horizontal $y=a$ (con $a>0$), buscamos los puntos de intersección resolviendo: $$(x-1)^2=a.$$ Como $a>0$, tiene dos soluciones: $$x-1=\pm\sqrt{a}\quad\Rightarrow\quad x=1\pm\sqrt{a}.$$ Los puntos de corte son: $$A\left(1-\sqrt{a},\,a\right),\qquad B\left(1+\sqrt{a},\,a\right).$$ 💡 **Tip:** Si tienes $(x-h)^2=a$ con $a>0$, entonces $x=h\pm\sqrt{a}$ (dos cortes simétricos respecto a $x=h$). **Las intersecciones:** $$\boxed{A\left(1-\sqrt{a},a\right),\ \ B\left(1+\sqrt{a},a\right)}$$

Entre los puntos $A$ y $B$ (es decir, para $x\in[1-\sqrt{a},\,1+\sqrt{a}]$), se cumple: $$(x-1)^2\le a,$$ por lo que la parábola queda **por debajo** de la recta $y=a$. El recinto pedido es la región cerrada formada por: - La recta horizontal $y=a$ (arriba), - La parábola $y=(x-1)^2$ (abajo), - Los puntos de unión $A$ y $B$. Por tanto, el recinto es el “casquete” comprendido entre ambas curvas desde $x=1-\sqrt{a}$ hasta $x=1+\sqrt{a}$. 💡 **Tip:** Para áreas entre curvas en un intervalo, identifica siempre cuál está arriba (mayor valor de $y$) y cuál abajo. **Intervalo del recinto:** $$\boxed{x\in\left[1-\sqrt{a},\,1+\sqrt{a}\right]\ \text{con}\ y\ \text{entre}\ (x-1)^2\ \text{y}\ a}$$ Desplaza en la gráfica la recta $y=a$ para ver cómo cambia el área.

**b) [1,75 puntos] Calcula $a>0$ para que el área del recinto acotado y limitado por la gráfica de $f$ y la recta $y=a$ sea $\dfrac{4}{3}$ unidades cuadradas.** El área del recinto entre una recta superior $y=a$ y una curva inferior $y=(x-1)^2$ en el intervalo $[1-\sqrt{a},\,1+\sqrt{a}]$ es: $$\text{Área}(a)=\int_{1-\sqrt{a}}^{1+\sqrt{a}}\big(a-(x-1)^2\big)\,dx.$$ 💡 **Tip:** Área entre curvas = $\int (\text{arriba} - \text{abajo})\,dx$ en el intervalo de corte. $$\boxed{\text{Área}(a)=\int_{1-\sqrt{a}}^{1+\sqrt{a}}\left[a-(x-1)^2\right]dx}$$

Partimos de $$\text{Área}(a)=\int_{1-\sqrt{a}}^{1+\sqrt{a}}\big(a-(x-1)^2\big)\,dx.$$ Para que la integral sea **inmediata de una función polinómica**, desarrollamos: $$(x-1)^2=x^2-2x+1\quad\Rightarrow\quad a-(x-1)^2=a-(x^2-2x+1)=-x^2+2x-1+a.$$ Así, $$\text{Área}(a)=\int_{1-\sqrt{a}}^{1+\sqrt{a}}\big(-x^2+2x-1+a\big)\,dx.$$ Calculamos una primitiva de $-x^2+2x-1+a$: $$F(x)=\int\big(-x^2+2x-1+a\big)\,dx=-\frac{x^3}{3}+x^2-x+ax.$$ Aplicamos la **regla de Barrow**: $$\text{Área}(a)=F(1+\sqrt{a})-F(1-\sqrt{a}).$$ Sustituimos: $$F(1+\sqrt{a})=-\frac{(1+\sqrt{a})^3}{3}+(1+\sqrt{a})^2-(1+\sqrt{a})+a(1+\sqrt{a}),$$ $$F(1-\sqrt{a})=-\frac{(1-\sqrt{a})^3}{3}+(1-\sqrt{a})^2-(1-\sqrt{a})+a(1-\sqrt{a}).$$ Restamos y simplificamos usando: $$(1+\sqrt{a})^3-(1-\sqrt{a})^3=6\sqrt{a}+2a\sqrt{a},$$ $$(1+\sqrt{a})^2-(1-\sqrt{a})^2=4\sqrt{a},$$ $$(1+\sqrt{a})-(1-\sqrt{a})=2\sqrt{a}.$$ Entonces: $$ \begin{aligned} \text{Área}(a) &=\left[-\frac{(1+\sqrt{a})^3}{3}+(1+\sqrt{a})^2-(1+\sqrt{a})+a(1+\sqrt{a})\right]\\ &\quad-\left[-\frac{(1-\sqrt{a})^3}{3}+(1-\sqrt{a})^2-(1-\sqrt{a})+a(1-\sqrt{a})\right]\\ &=-\frac{(1+\sqrt{a})^3-(1-\sqrt{a})^3}{3}+\left((1+\sqrt{a})^2-(1-\sqrt{a})^2\right)\\ &\quad-\left((1+\sqrt{a})-(1-\sqrt{a})\right)+a\left((1+\sqrt{a})-(1-\sqrt{a})\right)\\ &=-\frac{6\sqrt{a}+2a\sqrt{a}}{3}+4\sqrt{a}-2\sqrt{a}+2a\sqrt{a}\\ &=\left(-2\sqrt{a}-\frac{2}{3}a\sqrt{a}\right)+2\sqrt{a}+2a\sqrt{a}\\ &=-\frac{2}{3}a\sqrt{a}+2a\sqrt{a}=\frac{4}{3}a\sqrt{a}=\frac{4}{3}a^{3/2}. \end{aligned} $$ 💡 **Tip:** Regla de Barrow: si $F'(x)=f(x)$, entonces $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx=F(\beta)-F(\alpha)$. ✅ **Resultado (área en función de $a$):** $$\boxed{\text{Área}(a)=\frac{4}{3}a^{3/2}}$$

Queremos que: $$\frac{4}{3}a^{3/2}=\frac{4}{3}.$$ Dividimos ambos lados por $\dfrac{4}{3}$: $$a^{3/2}=1.$$ Como $a>0$, elevamos a la potencia $\dfrac{2}{3}$: $$a=1^{2/3}=1.$$ 💡 **Tip:** Si $a>0$ y $a^{3/2}=1$, entonces necesariamente $a=1$ (la potencia conserva la unicidad en positivos). ✅ **Resultado final (valor de $a$):** $$\boxed{a=1}$$