Recta tangente, normal y asíntotas de f(x) = (x-1)e^x

**a) [1,5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de inflexión.** Para encontrar el punto de inflexión, primero necesitamos calcular la segunda derivada de la función $f(x) = (x - 1)e^x$. Aplicamos la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: 1. Primera derivada: $$f'(x) = 1 \cdot e^x + (x - 1)e^x = e^x + xe^x - e^x = xe^x$$ 2. Segunda derivada: $$f''(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1 + x)e^x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^x$ es la propia $e^x$, lo que simplifica mucho el uso de la regla del producto al factorizar el término exponencial. $$\boxed{f'(x) = xe^x, \quad f''(x) = (x + 1)e^x}$$

Igualamos la segunda derivada a cero para encontrar los candidatos a puntos de inflexión: $$f''(x) = 0 \implies (x + 1)e^x = 0$$ Como la función exponencial $e^x$ nunca es cero ($e^x \gt 0$), la única solución es: $$x + 1 = 0 \implies x = -1$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ para confirmar el cambio de curvatura: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & +\\ e^x & + & + & +\\ \hline f''(x) & - & 0 & + \end{array}$$ Como hay un cambio de signo en $x = -1$ (pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba), existe un punto de inflexión. Calculamos la ordenada del punto: $$f(-1) = (-1 - 1)e^{-1} = -2e^{-1} = -\frac{2}{e}$$ 💡 **Tip:** Un punto de inflexión es aquel donde la función cambia su concavidad. No olvides calcular siempre la coordenada $y$ sustituyendo en la función original $f(x)$. $$\boxed{I\left(-1, -\frac{2}{e}\right)}$$

La pendiente de la recta tangente $m_t$ es el valor de la primera derivada en el punto de abscisa $x = -1$: $$m_t = f'(-1) = (-1)e^{-1} = -\frac{1}{e}$$ Utilizamos la fórmula de la recta punto-pendiente $y - y_0 = m(x - x_0)$ con el punto $I(-1, -2/e)$: $$y - \left(-\frac{2}{e}\right) = -\frac{1}{e}(x - (-1))$$ $$y + \frac{2}{e} = -\frac{1}{e}(x + 1) \implies y = -\frac{1}{e}x - \frac{1}{e} - \frac{2}{e}$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = -\frac{x+3}{e}}$$

La pendiente de la recta normal $m_n$ es la perpendicular a la de la tangente: $m_n = -\frac{1}{m_t}$. $$m_n = -\frac{1}{-1/e} = e$$ Utilizamos de nuevo la fórmula punto-pendiente: $$y - \left(-\frac{2}{e}\right) = e(x - (-1))$$ $$y + \frac{2}{e} = e(x + 1) \implies y = ex + e - \frac{2}{e}$$ 💡 **Tip:** La relación entre las pendientes de dos rectas perpendiculares es $m_1 \cdot m_2 = -1$. ✅ **Resultado (recta normal):** $$\boxed{y = ex + e - \frac{2}{e}}$$

**b) [1 punto] Estudia y calcula las asíntotas de la función.** 1. **Asíntotas Verticales:** El dominio de la función $f(x) = (x - 1)e^x$ es todo $\mathbb{R}$, ya que es el producto de un polinomio y una función exponencial, ambos con dominio en todos los números reales. Al no haber puntos de discontinuidad ni valores que anulen denominadores, no existen asíntotas verticales. ✅ **Resultado (A.V.):** $$\boxed{\text{No tiene asíntotas verticales}}$$

2. **Asíntotas Horizontales:** Calculamos los límites en el infinito: * **Cuando $x \to +\infty$:** $$\lim_{x \to +\infty} (x-1)e^x = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$$ No hay asíntota horizontal por la derecha. * **Cuando $x \to -\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} (x-1)e^x = (-\infty) \cdot 0$$ Es una indeterminación. Reequilibramos para aplicar la **Regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x-1}{e^{-x}} = \left[\frac{-\infty}{+\infty}\right]$$ Derivamos numerador y denominador: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-e^{-x}} = \frac{1}{-\infty} = 0$$ 💡 **Tip:** Cuando tengas una indeterminación $0 \cdot \infty$, transforma el producto en un cociente para poder aplicar L'Hôpital. ✅ **Resultado (A.H.):** $$\boxed{y = 0 \text{ cuando } x \to -\infty}$$

3. **Asíntotas Oblicuas:** * Por la izquierda ($x \to -\infty$), ya existe una asíntota horizontal ($y=0$), por lo que no puede haber oblicua. * Por la derecha ($x \to +\infty$): $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x-1)e^x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)e^x = 1 \cdot (+\infty) = +\infty$$ Como la pendiente $m$ no es finita, no existe asíntota oblicua. **Conclusión de las asíntotas:** - No hay A. Verticales. - A. Horizontal: $y = 0$ (solo en $-\infty$). - No hay A. Oblicuas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{A.H.: } y=0 \text{ en } -\infty}$$