Distribución Binomial: Probabilidad de ventas telefónicas

Primero, definimos la variable aleatoria y sus parámetros para identificar el modelo matemático. Sea $X$ la variable aleatoria que representa el **número de ventas conseguidas** en un total de $n$ llamadas. - Número de experimentos (llamadas): $n = 10$. - Probabilidad de éxito ($p$): Conseguir una venta. Si en el $30\%$ no consigue venta, la probabilidad de conseguirla es $p = 1 - 0.30 = 0.70$. - Probabilidad de fracaso ($q$): No conseguir venta, $q = 0.30$. Dado que cada llamada es independiente y solo hay dos resultados posibles (éxito o fracaso), la variable sigue una **distribución Binomial**: $$X \sim B(10, \, 0.70)$$ 💡 **Tip:** La fórmula general de la probabilidad binomial es $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$, donde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

**a) Calcular la probabilidad de que consiga más de 7 ventas. (3 puntos)** Buscamos $P(X \gt 7)$. Esto equivale a la suma de las probabilidades de obtener 8, 9 o 10 ventas: $$P(X \gt 7) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$$ Calculamos cada término individualmente: - Para $k=8$: $P(X=8) = \binom{10}{8} (0.7)^8 (0.3)^2 = 45 \cdot 0.057648 \cdot 0.09 \approx 0.23347$ - Para $k=9$: $P(X=9) = \binom{10}{9} (0.7)^9 (0.3)^1 = 10 \cdot 0.040353 \cdot 0.3 \approx 0.12106$ - Para $k=10$: $P(X=10) = \binom{10}{10} (0.7)^{10} (0.3)^0 = 1 \cdot 0.028247 \cdot 1 \approx 0.02825$ Sumamos los resultados: $P(X \gt 7) = 0.23347 + 0.12106 + 0.02825 = 0.38278$ Redondeando a cuatro decimales: $$\boxed{P(X \gt 7) = 0.3828}$$

**b) Calcular la probabilidad de que consiga al menos 5 ventas. (3 puntos)** Buscamos $P(X \ge 5)$. Esto implica sumar las probabilidades desde $k=5$ hasta $k=10$. Es más eficiente utilizar el **suceso contrario**: $$P(X \ge 5) = 1 - P(X \lt 5) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)]$$ Calculamos las probabilidades necesarias: - $P(X=0) = \binom{10}{0} (0.7)^0 (0.3)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0.0000059 \approx 0.0000$ - $P(X=1) = \binom{10}{1} (0.7)^1 (0.3)^9 = 10 \cdot 0.7 \cdot 0.00001968 \approx 0.0001$ - $P(X=2) = \binom{10}{2} (0.7)^2 (0.3)^8 = 45 \cdot 0.49 \cdot 0.00006561 \approx 0.0014$ - $P(X=3) = \binom{10}{3} (0.7)^3 (0.3)^7 = 120 \cdot 0.343 \cdot 0.0002187 \approx 0.0090$ - $P(X=4) = \binom{10}{4} (0.7)^4 (0.3)^6 = 210 \cdot 0.2401 \cdot 0.000729 \approx 0.0368$ Sumamos el fracaso acumulado: $P(X \lt 5) \approx 0.0000 + 0.0001 + 0.0014 + 0.0090 + 0.0368 = 0.0473$ Finalmente: $P(X \ge 5) = 1 - 0.0473 = 0.9527$ 💡 **Tip:** El uso del suceso contrario es fundamental cuando el número de términos a sumar es elevado. $$\boxed{P(X \ge 5) = 0.9527}$$

**c) Calcular la probabilidad de que consiga un mínimo de 3 ventas y un máximo de 8 ventas. (4 puntos)** Buscamos $P(3 \le X \le 8)$. Podemos calcularlo restando de la probabilidad total las colas de la distribución: $$P(3 \le X \le 8) = 1 - [P(X \lt 3) + P(X \gt 8)]$$ O bien sumando los términos intermedios. Usaremos la resta por ser más directa con los datos ya calculados: 1. **Cola inferior ($X \lt 3$):** $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.0000 + 0.0001 + 0.0014 = 0.0015$ 2. **Cola superior ($X \gt 8$):** $P(X=9) + P(X=10) = 0.1211 + 0.0282 = 0.1493$ Sumamos ambas colas: $0.0015 + 0.1493 = 0.1508$ Restamos de la unidad: $P(3 \le X \le 8) = 1 - 0.1508 = 0.8492$ *(Nota: Si sumamos directamente $P(3)+P(4)+P(5)+P(6)+P(7)+P(8)$ con valores más precisos, el resultado es $0.8491$, aceptable según el redondeo utilizado en los pasos intermedios)*. $$\boxed{P(3 \le X \le 8) = 0.8492}$$