Probabilidad condicionada y experimentos independientes con monedas

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos básicos y representamos la situación mediante un árbol de probabilidad para un solo lanzamiento: * $M_1$: Elegir la moneda 1. $P(M_1) = 0.5$ * $M_2$: Elegir la moneda 2. $P(M_2) = 0.5$ * $C$: Obtener cara. * $X$: Obtener cruz. Datos de las monedas: * Moneda $M_1$: $P(C|M_1) = 0.6$ y $P(X|M_1) = 0.4$. * Moneda $M_2$: $P(C|M_2) = 1$ (es una moneda con dos caras) y $P(X|M_2) = 0$. 💡 **Tip:** Un diagrama de árbol nos ayuda a visualizar todos los caminos posibles y sus probabilidades asociadas multiplicando las ramas.

En el apartado (a), se selecciona una moneda, se lanza y se devuelve. Este proceso se repite 3 veces. Primero calculamos la probabilidad de obtener cara ($P(C)$) y cruz ($P(X)$) en un solo ciclo de elegir-lanzar-devolver. Usando el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(C) = P(M_1) \cdot P(C|M_1) + P(M_2) \cdot P(C|M_2)$$ $$P(C) = 0.5 \cdot 0.6 + 0.5 \cdot 1 = 0.3 + 0.5 = 0.8$$ Como solo hay dos resultados posibles (cara o cruz): $$P(X) = 1 - P(C) = 1 - 0.8 = 0.2$$ 💡 **Tip:** Como la moneda se devuelve a la bolsa antes de la siguiente repetición, cada uno de los tres lanzamientos es un **experimento independiente** con las mismas probabilidades $P(C)=0.8$ y $P(X)=0.2$.

**a) 1. ¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido tres caras? (3 puntos)** Al ser lanzamientos independientes, la probabilidad de obtener tres caras ($C, C, C$) es el producto de las probabilidades individuales: $$P(C_1 \cap C_2 \cap C_3) = P(C) \cdot P(C) \cdot P(C) = (0.8)^3$$ Calculamos: $$(0.8)^3 = 0.512$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{3 caras}) = 0.512}$$

**a) 2. ¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido exactamente una cruz? (3 puntos)** Este experimento sigue una **distribución binomial** $B(n=3, p=0.8)$, donde el éxito es obtener cara. Sin embargo, para bachillerato podemos calcularlo considerando las distintas posiciones donde puede aparecer la cruz: $(X, C, C)$, $(C, X, C)$ y $(C, C, X)$. Como los lanzamientos son independientes: $P(X, C, C) = 0.2 \cdot 0.8 \cdot 0.8 = 0.128$ $P(C, X, C) = 0.8 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 0.128$ $P(C, C, X) = 0.8 \cdot 0.8 \cdot 0.2 = 0.128$ Sumamos las tres posibilidades: $$P(\text{exactamente 1 cruz}) = 3 \cdot (0.2 \cdot 0.8^2) = 3 \cdot 0.128 = 0.384$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula de la binomial es $P(k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$. Aquí $n=3$, $k=2$ (éxitos/caras) y $q=0.2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{1 cruz}) = 0.384}$$

**b) Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza dos veces observándose dos caras. Calcular la probabilidad de que la moneda seleccionada sea la moneda $M_1$. Responder a la misma pregunta para la moneda $M_2$. (4 puntos)** En este apartado, se elige **una única moneda** y se lanza dos veces. Definimos el suceso $2C$ como "obtener dos caras en dos lanzamientos con la misma moneda". Primero, calculamos la probabilidad de obtener dos caras condicionada a la moneda elegida: - Si es $M_1$: $P(2C | M_1) = 0.6 \cdot 0.6 = 0.36$ - Si es $M_2$: $P(2C | M_2) = 1 \cdot 1 = 1$ Calculamos la probabilidad total de observar dos caras $P(2C)$: $$P(2C) = P(M_1) \cdot P(2C|M_1) + P(M_2) \cdot P(2C|M_2)$$ $$P(2C) = 0.5 \cdot 0.36 + 0.5 \cdot 1 = 0.18 + 0.5 = 0.68$$

Para hallar la probabilidad de que fuera la moneda $M_1$ habiendo visto dos caras, usamos el **Teorema de Bayes**: $$P(M_1 | 2C) = \frac{P(M_1) \cdot P(2C|M_1)}{P(2C)} = \frac{0.5 \cdot 0.36}{0.68} = \frac{0.18}{0.68}$$ $$P(M_1 | 2C) = \frac{18}{68} = \frac{9}{34} \approx 0.2647$$ Para la moneda $M_2$, podemos usar Bayes o el suceso complementario (ya que solo hay dos monedas): $$P(M_2 | 2C) = 1 - P(M_1 | 2C) = 1 - \frac{9}{34} = \frac{25}{34} \approx 0.7353$$ 💡 **Tip:** Es lógico que $P(M_2 | 2C)$ sea mayor, ya que la moneda $M_2$ siempre da cara, por lo que observar dos caras es mucho más probable si tenemos $M_2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(M_1 | 2C) = \frac{9}{34} \approx 0.2647, \quad P(M_2 | 2C) = \frac{25}{34} \approx 0.7353}$$