Cálculo de un parámetro para un área entre curvas determinada

El primer paso consiste en determinar el área del rectángulo $R$ definido por los puntos $(-1,0), (1,0), (1,1)$ y $(-1,1)$. Observamos las dimensiones del rectángulo: - La base se extiende desde $x = -1$ hasta $x = 1$, por lo que su longitud es: $1 - (-1) = 2$ unidades. - La altura se extiende desde $y = 0$ hasta $y = 1$, por lo que su longitud es: $1 - 0 = 1$ unidad. El área del rectángulo $R$, que denotaremos como $A_R$, es: $$A_R = \text{base} \cdot \text{altura} = 2 \cdot 1 = 2$$ El enunciado nos indica que el área entre las gráficas ($A_G$) debe ser un tercio del área de $R$: $$A_G = \frac{1}{3} A_R = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** Identificar correctamente las dimensiones geométricas es fundamental antes de aplicar cálculo integral.

Para hallar el área entre $f(x) = x^2$ y $g(x) = a$, debemos encontrar sus puntos de intersección resolviendo la ecuación $f(x) = g(x)$: $$x^2 = a \implies x = \pm\sqrt{a}$$ Como se nos indica que $0 < a < 1$, estos puntos existen y están dentro del intervalo de la base del rectángulo $R$, que es $[-1, 1]$. En el intervalo $[-\sqrt{a}, \sqrt{a}]$, la función $g(x) = a$ está por encima de $f(x) = x^2$ (ya que para $x=0$, $g(0)=a > f(0)=0$). Por tanto, el área $A_G$ viene dada por la integral: $$A_G = \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a - x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Cuando una región es simétrica respecto al eje $Y$ (como ocurre aquí con $x^2$ y la constante $a$), podemos simplificar el cálculo integrando de $0$ a $\sqrt{a}$ y multiplicando por $2$.

Calculamos la integral utilizando la propiedad de simetría mencionada: $$A_G = 2 \int_{0}^{\sqrt{a}} (a - x^2) \, dx$$ Buscamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$A_G = 2 \left[ ax - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{a}}$$ $$A_G = 2 \left[ \left( a\sqrt{a} - \frac{(\sqrt{a})^3}{3} \right) - (0 - 0) \right]$$ Como $(\sqrt{a})^3 = a\sqrt{a}$, simplificamos la expresión: $$A_G = 2 \left( a\sqrt{a} - \frac{a\sqrt{a}}{3} \right) = 2 \left( \frac{3a\sqrt{a} - a\sqrt{a}}{3} \right) = 2 \left( \frac{2a\sqrt{a}}{3} \right) = \frac{4a\sqrt{a}}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\sqrt{a} = a^{1/2}$, por lo que $a\sqrt{a} = a^1 \cdot a^{1/2} = a^{3/2}$. Esto facilitará la resolución de la ecuación final. $$\boxed{A_G = \frac{4a^{3/2}}{3}}$$

Igualamos el área obtenida mediante la integral al valor requerido (un tercio del área de $R$, que era $2/3$): $$\frac{4a^{3/2}}{3} = \frac{2}{3}$$ Multiplicamos ambos lados por $3$ y dividimos por $4$: $$4a^{3/2} = 2 \implies a^{3/2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ Para despejar $a$, elevamos ambos miembros a la potencia $2/3$: $$a = \left( \frac{1}{2} \right)^{2/3} = \sqrt[3]{\left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$$ También podemos expresarlo racionalizando o en forma decimal si se prefiere, pero la forma exacta es preferible. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = \sqrt[3]{\frac{1}{4}} \approx 0,63}$$