Estudio de función exponencial con parámetro

**a) Obtener el dominio y las asíntotas de $f(x)$. (3 puntos)** Para hallar el dominio de $f(x) = \frac{kx}{e^{2x}}$, debemos observar si existen valores de $x$ que anulen el denominador. Como la función exponencial $e^{2x}$ es siempre positiva para cualquier valor real de $x$ ($e^{2x} \gt 0$), el denominador nunca se anula. Por tanto, el dominio es todo el conjunto de los números reales: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones exponenciales de la forma $a^{g(x)}$ nunca son nulas ni negativas si $a > 0$.

Las asíntotas verticales suelen aparecer en los puntos donde la función no está definida (raíces del denominador en funciones racionales). Como hemos determinado que $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$ y la función es continua en todo su dominio, **no existen asíntotas verticales**. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{\text{No hay asíntotas verticales}}$$

Estudiamos el comportamiento en el infinito para las asíntotas horizontales ($y = L$): **1. Hacia $+\infty$:** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{kx}{e^{2x}} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{kx}{e^{2x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(kx)'}{(e^{2x})'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{k}{2e^{2x}} = \frac{k}{\infty} = 0$$ Existe una asíntota horizontal en **$y = 0$** cuando $x \to +\infty$. **2. Hacia $-\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{kx}{e^{2x}} = \lim_{x \to -\infty} kx \cdot e^{-2x}$$ Como $x \to -\infty$, entonces $-2x \to +\infty$. El límite resulta en un producto de $(-\infty) \cdot (+\infty) = -\infty$ (si $k > 0$). No hay asíntota horizontal por la izquierda. **Asíntotas oblicuas ($y = mx + n$):** Por la derecha no hay (hay AH). Por la izquierda: $$m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{kx}{x e^{2x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{k}{e^{2x}} = \frac{k}{0^+} = \pm\infty$$ Al ser el límite infinito, **no hay asíntota oblicua**. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AH: } y=0 \text{ (cuando } x \to +\infty), \text{ No hay AV ni AO}}$$

**b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y sus máximos y mínimos. (5 puntos)** Calculamos la derivada de $f(x) = \frac{kx}{e^{2x}}$ usando la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$f'(x) = \frac{k \cdot e^{2x} - kx \cdot (2e^{2x})}{(e^{2x})^2}$$ Simplificamos factorizando $e^{2x}$: $$f'(x) = \frac{e^{2x}(k - 2kx)}{e^{4x}} = \frac{k(1 - 2x)}{e^{2x}}$$ Para hallar los puntos críticos, igualamos a cero: $$f'(x) = 0 \implies k(1 - 2x) = 0$$ Asumiendo $k \neq 0$ (si $k=0$ la función es constante $y=0$): $$1 - 2x = 0 \implies x = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Al simplificar fracciones con exponenciales, resta los exponentes: $\frac{e^{2x}}{e^{4x}} = e^{2x-4x} = e^{-2x} = \frac{1}{e^{2x}}$.

Analizamos el signo de $f'(x) = \frac{k(1-2x)}{e^{2x}}$. El signo depende de $k$ y del factor $(1-2x)$, ya que $e^{2x}$ siempre es positivo. Suponiendo $k \gt 0$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & -\\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - **Crecimiento:** $f'(x) \gt 0$ en $(-\infty, 1/2)$. - **Decrecimiento:** $f'(x) \lt 0$ en $(1/2, +\infty)$. El **máximo relativo** se encuentra en $x = 1/2$: $$y = f(1/2) = \frac{k(1/2)}{e^{2(1/2)}} = \frac{k}{2e}$$ *Nota: Si $k \lt 0$, los intervalos de crecimiento/decrecimiento se intercambian y el punto sería un mínimo.* ✅ **Resultado (Monotonía para $k>0$):** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, 1/2), \text{ Decreciente: } (1/2, +\infty), \text{ Máximo: } (1/2, k/2e)}$$

**c) Justificar que la función siempre se anula en algún punto del intervalo [-1, 1]. (2 puntos)** Una función se anula en un punto si $f(x) = 0$. Analizamos la expresión de nuestra función: $$f(x) = \frac{kx}{e^{2x}}$$ Para que $f(x) = 0$, el numerador debe ser cero: $$kx = 0$$ Independientemente del valor del parámetro $k$, si evaluamos la función en **$x = 0$**: $$f(0) = \frac{k \cdot 0}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{0}{1} = 0$$ Dado que el valor $x = 0$ pertenece al intervalo $[-1, 1]$, queda justificado que la función siempre se anula en dicho intervalo (específicamente en el origen). 💡 **Tip:** No es necesario aplicar el Teorema de Bolzano si puedes encontrar el punto exacto donde la función vale cero de forma directa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(0) = 0 \text{ y } 0 \in [-1, 1] \implies \text{Se anula en el intervalo}}$$