Cuadrado en el espacio y posiciones relativas

**a) Calcular la ecuación de la recta $r$. (2 puntos)** En un cuadrado, los lados opuestos son paralelos entre sí. Se nos indica que los puntos $P$ y $Q$ son vértices consecutivos, por lo que el segmento $PQ$ forma uno de los lados del cuadrado. Los otros dos vértices se encuentran sobre la recta $r$. Como estos dos vértices deben formar el lado opuesto a $PQ$, la recta $r$ debe ser paralela al vector director determinado por $P$ y $Q$. Calculamos el vector director $\vec{v_r} = \vec{PQ}$: $$\vec{v_r} = Q - P = (1 - 2, 3 - 1, 1 - 3) = (-1, 2, -2)$$ Como la recta $r$ pasa por el punto $R = (4,7,6)$ y tiene como vector director $\vec{v_r} = (-1, 2, -2)$, su ecuación paramétrica es: $$\boxed{r: \begin{cases} x = 4 - \lambda \\ y = 7 + 2\lambda \\ z = 6 - 2\lambda \end{cases}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para definir una recta necesitamos un punto y un vector director. En un cuadrado, la dirección de un lado es la misma que la de su lado opuesto.

**b) Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado. (3 puntos)** El plano $\pi$ que contiene al cuadrado debe contener a los puntos $P, Q$ y a la recta $r$ (que contiene al punto $R$). Por tanto, el plano estará determinado por el punto $P$ y los vectores $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$. Ya tenemos $\vec{PQ} = (-1, 2, -2)$. Calculamos el vector $\vec{PR}$: $$\vec{PR} = R - P = (4 - 2, 7 - 1, 6 - 3) = (2, 6, 3)$$ El vector normal al plano $\vec{n_\pi}$ se obtiene mediante el producto vectorial de ambos: $$\vec{n_\pi} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & -2 \\ 2 & 6 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n_\pi} = \mathbf{i}(2 \cdot 3 - (-2) \cdot 6) - \mathbf{j}((-1) \cdot 3 - (-2) \cdot 2) + \mathbf{k}((-1) \cdot 6 - 2 \cdot 2)$$ $$\vec{n_\pi} = \mathbf{i}(6 + 12) - \mathbf{j}(-3 + 4) + \mathbf{k}(-6 - 4) = (18, -1, -10)$$ La ecuación del plano es de la forma $18x - y - 10z + D = 0$. Sustituimos el punto $P(2,1,3)$: $$18(2) - (1) - 10(3) + D = 0 \implies 36 - 1 - 30 + D = 0 \implies 5 + D = 0 \implies D = -5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: 18x - y - 10z - 5 = 0}$$

**c) Hallar las coordenadas de los otros dos vértices. (5 puntos)** Llamemos $S$ y $T$ a los vértices sobre la recta $r$. Para que $PQTS$ sea un cuadrado (o rectángulo), el vértice $S$ debe ser la proyección ortogonal de $P$ sobre la recta $r$, y $T$ la proyección de $Q$ sobre $r$. Para hallar $S$ (proyección de $P$), creamos un plano auxiliar $\pi_1$ perpendicular a $r$ que pase por $P(2,1,3)$. El vector normal de este plano es el vector director de $r$: $\vec{n_{\pi_1}} = (-1, 2, -2)$. $$\pi_1: -1(x - 2) + 2(y - 1) - 2(z - 3) = 0 \implies -x + 2y - 2z + 6 = 0$$ Intersecamos $\pi_1$ con la recta $r$ sustituyendo sus coordenadas paramétricas: $$-(4 - \lambda) + 2(7 + 2\lambda) - 2(6 - 2\lambda) + 6 = 0$$ $$-4 + \lambda + 14 + 4\lambda - 12 + 4\lambda + 6 = 0 \implies 9\lambda + 4 = 0 \implies \lambda = -\frac{4}{9}$$ Sustituimos $\lambda$ en la recta $r$ para hallar $S$: $$x = 4 - (-4/9) = 40/9, \quad y = 7 + 2(-4/9) = 55/9, \quad z = 6 - 2(-4/9) = 62/9$$ $$\boxed{S = \left(\frac{40}{9}, \frac{55}{9}, \frac{62}{9}\right)}$$

Para hallar $T$ (proyección de $Q$), creamos un plano auxiliar $\pi_2$ perpendicular a $r$ que pase por $Q(1,3,1)$. $$\pi_2: -1(x - 1) + 2(y - 3) - 2(z - 1) = 0 \implies -x + 2y - 2z - 3 = 0$$ Intersecamos $\pi_2$ con la recta $r$: $$-(4 - \lambda) + 2(7 + 2\lambda) - 2(6 - 2\lambda) - 3 = 0$$ $$-4 + \lambda + 14 + 4\lambda - 12 + 4\lambda - 3 = 0 \implies 9\lambda - 5 = 0 \implies \lambda = \frac{5}{9}$$ Sustituimos $\lambda$ en la recta $r$ para hallar $T$: $$x = 4 - 5/9 = 31/9, \quad y = 7 + 2(5/9) = 73/9, \quad z = 6 - 2(5/9) = 44/9$$ $$\boxed{T = \left(\frac{31}{9}, \frac{73}{9}, \frac{44}{9}\right)}$$ 💡 **Nota:** Aunque los datos del problema (punto $R$) resultan en un rectángulo (la distancia entre las rectas es mayor que el lado $PQ$), este es el procedimiento estándar para hallar los vértices sobre la recta dada. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{S\left(\frac{40}{9}, \frac{55}{9}, \frac{62}{9}\right) \text{ y } T\left(\frac{31}{9}, \frac{73}{9}, \frac{44}{9}\right)}$$