Posición relativa de recta y plano con parámetros

**a) Determinar el valor del parámetro real $m$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos. Obtener además los valores de $m$ para los que el plano $\pi$ contiene a la recta $r$. (4 puntos)** Primero, extraemos el vector director de la recta $r$ y el vector normal del plano $\pi$ de sus ecuaciones: - Recta $r$ (en forma continua): $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z+2}{-1}$. Vector director: $\vec{v}_r = (2, 3, -1)$. Punto de la recta: $Q_r = (1, -1, -2)$. - Plano $\pi$: $3x - my + z - 1 = 0$. Vector normal: $\vec{n}_\pi = (3, -m, 1)$. Para que la recta $r$ sea paralela al plano o esté contenida en él, el vector director de la recta debe ser perpendicular al vector normal del plano. Esto ocurre si su producto escalar es cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$$ $$(2, 3, -1) \cdot (3, -m, 1) = 0$$ $$2(3) + 3(-m) + (-1)(1) = 0$$ $$6 - 3m - 1 = 0 \implies 5 - 3m = 0 \implies 3m = 5$$ $$\boxed{m = \frac{5}{3}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es paralela a un plano, su vector director es perpendicular al vector normal del plano, por lo que su producto escalar debe ser nulo.

Para que el plano $\pi$ **contenga** a la recta $r$, deben cumplirse dos condiciones: 1. La recta y el plano deben tener direcciones paralelas (ya hemos visto que esto ocurre si $m = 5/3$). 2. Cualquier punto de la recta debe pertenecer al plano. Comprobamos si el punto $Q_r = (1, -1, -2)$ pertenece a $\pi$ para $m = 5/3$: Sustituimos $Q_r$ en la ecuación del plano $\pi$: $3x - \frac{5}{3}y + z = 1$ $$3(1) - \frac{5}{3}(-1) + (-2) = 3 + \frac{5}{3} - 2 = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3}$$ Como $\frac{8}{3} \neq 1$, el punto $Q_r$ no pertenece al plano cuando $m = 5/3$. Por tanto, para $m = 5/3$ la recta es **estrictamente paralela** al plano. ¿Existe otro valor de $m$ para el cual la recta esté contenida? No, porque si $m \neq 5/3$, la recta y el plano se cortan en un único punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Paralelos para } m = \frac{5}{3}. \text{ No existe } m \text{ para que } r \subset \pi.}$$

**b) Para los valores $m$ del apartado anterior, hallar un plano paralelo a $\pi$, que contenga a la recta $r$. (3 puntos)** El valor obtenido en el apartado anterior es $m = 5/3$. Buscamos un plano $\pi'$ tal que $\pi' \parallel \pi$ y $r \subset \pi'$. 1. Como $\pi' \parallel \pi$, su vector normal será el mismo (o proporcional): $\vec{n}_{\pi'} = \vec{n}_\pi = (3, -5/3, 1)$. La ecuación del plano será de la forma: $3x - \frac{5}{3}y + z + D = 0$. 2. Como $r \subset \pi'$, el punto $Q_r(1, -1, -2)$ debe satisfacer la ecuación: $$3(1) - \frac{5}{3}(-1) + (-2) + D = 0$$ $$3 + \frac{5}{3} - 2 + D = 0 \implies 1 + \frac{5}{3} + D = 0$$ $$\frac{8}{3} + D = 0 \implies D = -\frac{8}{3}$$ La ecuación es $3x - \frac{5}{3}y + z - \frac{8}{3} = 0$. Multiplicando por 3 para simplificar: $$9x - 5y + 3z - 8 = 0$$ 💡 **Tip:** Dos planos son paralelos si sus coeficientes $A, B, C$ son proporcionales. Solo cambia el término independiente $D$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{9x - 5y + 3z - 8 = 0}$$

**c) Calcular, en función de $m$, la distancia entre $\pi$ y el punto $P = (1, -1, -2)$. (3 puntos)** Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso: - Punto $P = (1, -1, -2)$ - Plano $\pi: 3x - my + z - 1 = 0$ Sustituimos los valores: $$d(P, \pi) = \frac{|3(1) - m(-1) + (-2) - 1|}{\sqrt{3^2 + (-m)^2 + 1^2}}$$ Simplificamos el numerador: $$|3 + m - 2 - 1| = |m|$$ Simplificamos el denominador: $$\sqrt{9 + m^2 + 1} = \sqrt{m^2 + 10}$$ Por tanto, la distancia en función de $m$ es: $$d(P, \pi) = \frac{|m|}{\sqrt{m^2 + 10}}$$ 💡 **Tip:** Fíjate que si $m=0$, la distancia es 0, lo que significa que el punto $P$ está contenido en el plano (como vimos en el análisis del apartado a). ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, \pi) = \dfrac{|m|}{\sqrt{m^2 + 10}}}$$