Rango, Ecuaciones Matriciales y Potencias

**a) Estudiar el rango de $A$ en función del parámetro real $m$. (3 puntos)** Para determinar el rango de la matriz $A$, empezamos calculando su determinante $|A|$ en función del parámetro $m$. Utilizaremos la regla de Sarrus o el desarrollo por una fila/columna. En este caso, desarrollar por la segunda fila es muy eficiente ya que contiene dos ceros. $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2m & m \\ 0 & m & 0 \\ m & 1 & m \end{vmatrix}$$ Desarrollando por la segunda fila: $$|A| = m \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & m \\ m & m \end{vmatrix} = m \cdot (1 \cdot m - m \cdot m) = m \cdot (m - m^2) = m^2(1 - m)$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$m^2(1 - m) = 0 \implies m = 0, \quad m = 1$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz cuadrada de orden $n$ es $n$ si y solo si su determinante es distinto de cero.

Analizamos los diferentes casos según el valor de $m$: **Caso 1: Si $m \neq 0$ y $m \neq 1$** El determinante $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de $A$ es máximo. $$\text{rango}(A) = 3$$ **Caso 2: Si $m = 0$** La matriz queda: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ El determinante es $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero. Por ejemplo, usando las filas 1 y 3 y las columnas 1 y 2: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ **Caso 3: Si $m = 1$** La matriz queda: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ El determinante es $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero. Por ejemplo, en la esquina superior izquierda: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ ✅ **Resultado (Rango de A):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \neq 0 \text{ y } m \neq 1, & \text{rango}(A) = 3 \\ \text{Si } m = 0, & \text{rango}(A) = 2 \\ \text{Si } m = 1, & \text{rango}(A) = 2 \end{cases}}$$

**b) Para $m = -1$, resolver la ecuación matricial $AX = B$. (4 puntos)** Sustituimos $m = -1$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Como para $m = -1$ el determinante $|A| = (-1)^2(1 - (-1)) = 1 \cdot 2 = 2 \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. Podemos despejar $X$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$: $$A X = B \implies A^{-1} A X = A^{-1} B \implies X = A^{-1} B$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales del tipo $AX=B$, el orden importa. Si $A$ multiplica por la izquierda, su inversa debe multiplicar por la izquierda al otro lado del igual.

Calculamos $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$. Ya sabemos que $|A| = 2$. Calculamos los adjuntos de los elementos de $A$: $C_{11} = + \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1$; $C_{12} = - \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 0$; $C_{13} = + \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1$ $C_{21} = - \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(2+1) = -3$; $C_{22} = + \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -1-1 = -2$; $C_{23} = - \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(1-2) = 1$ $C_{31} = + \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -1$; $C_{32} = - \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$; $C_{33} = + \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1$ Matriz adjunta $\text{Adj}(A)$: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -3 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Matriz inversa $A^{-1}$ (transponiendo la adjunta): $$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Calculamos $X = A^{-1} B$: $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de matrices: - Fila 1: $(1 \cdot 1 + (-3) \cdot 0 + (-1) \cdot 0 = 1)$ ; $(1 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = -3)$ - Fila 2: $(0 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0)$ ; $(0 \cdot 0 + (-2) \cdot 1 + 0 \cdot 0 = -2)$ - Fila 3: $((-1) \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 = -1)$ ; $((-1) \cdot 0 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = 1)$ $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -3/2 \\ 0 & -1 \\ -1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0.5 & -1.5 \\ 0 & -1 \\ -0.5 & 0.5 \end{pmatrix}}$$

**c) Para $m = 0$, calcular $A^5$. (3 puntos)** Si $m = 0$, la matriz $A$ es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos las primeras potencias para ver si existe un patrón: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos $A^3$: $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Se observa que para cualquier $n \ge 2$, la matriz $A^n$ se estabiliza. Por tanto, $A^5 = A^2$. 💡 **Tip:** Cuando se pide una potencia alta, suele haber una periodicidad, una matriz nula o una matriz que se estabiliza rápidamente como en este caso. ✅ **Resultado (A^5):** $$\boxed{A^5 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$