Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Discutir el sistema en función de los valores del parámetro $m$. (6 puntos)** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & m & -1 \\ m-1 & 3 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & | & m \\ 2 & m & -1 & | & 3m \\ m-1 & 3 & -1 & | & 6+m \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & m & -1 \\ m-1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = [(-1) \cdot m \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) \cdot (m-1) + 1 \cdot 2 \cdot 3] - [(m-1) \cdot m \cdot 1 + 3 \cdot (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 \cdot 1]$$ $$|A| = [m - m + 1 + 6] - [m^2 - m + 3 - 2] = 7 - (m^2 - m + 1) = -m^2 + m + 6$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-m^2 + m + 6 = 0 \implies m^2 - m - 6 = 0$$ $$m = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$$ Las raíces son: **$m_1 = 3$** y **$m_2 = -2$**. 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos permite separar los casos en los que el sistema tiene solución única de aquellos en los que hay que profundizar más.

Si $m \neq 3$ y $m \neq -2$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es $\text{rg}(A) = 3$. Como la matriz ampliada $A^*$ tiene 3 filas y su rango no puede ser mayor que el número de incógnitas ni menor que el de $A$, entonces $\text{rg}(A^*) = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n = 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 3, -2: \text{ Sistema Compatible Determinado}}$$

Sustituimos $m = 3$ en la matriz ampliada $A^*$: $$A^* = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 2 & 3 & -1 & | & 9 \\ 2 & 3 & -1 & | & 9 \end{pmatrix}$$ Observamos que la segunda y la tercera fila son idénticas ($F_2 = F_3$), por lo que el rango de la matriz no será 3. Calculamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -3 - 2 = -5 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como $F_2$ y $F_3$ son iguales en toda la matriz ampliada, también se cumple que $\text{rg}(A^*) = 2$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m = 3: \text{ Sistema Compatible Indeterminado}}$$

Sustituimos $m = -2$ en la matriz ampliada $A^*$: $$A^* = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & | & -2 \\ 2 & -2 & -1 & | & -6 \\ -3 & 3 & -1 & | & 4 \end{pmatrix}$$ Calculamos el rango de $A$: Observamos que la columna 2 es la columna 1 cambiada de signo ($C_2 = -C_1$). Buscamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -1 + 2 = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ comprobando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -2 & -1 & -6 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = [(-4) + (-18) + (-4)] - [6 + 6 + (-8)] = [-26] - [4] = -30 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en la ampliada, $\text{rg}(A^*) = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m = -2: \text{ Sistema Incompatible}}$$

**b) Para los valores de $m$ para los que el sistema es compatible indeterminado, encontrar la solución. (4 puntos)** Del apartado anterior, sabemos que el sistema es SCI para $m = 3$. El sistema resultante es: $$\begin{cases} -x + y + z = 3 \\ 2x + 3y - z = 9 \\ 2x + 3y - z = 9 \end{cases}$$ Como la tercera ecuación es idéntica a la segunda, la eliminamos. Tenemos 2 ecuaciones y 3 incógnitas. Tomamos $z = \lambda$ como parámetro real: $$\begin{cases} -x + y = 3 - \lambda \\ 2x + 3y = 9 + \lambda \end{cases}$$ Resolvemos por sustitución. De la primera ecuación: $y = x + 3 - \lambda$. Sustituimos en la segunda: $$2x + 3(x + 3 - \lambda) = 9 + \lambda$$ $$2x + 3x + 9 - 3\lambda = 9 + \lambda$$ $$5x = 4\lambda \implies x = \frac{4}{5}\lambda$$ Ahora calculamos $y$: $$y = \frac{4}{5}\lambda + 3 - \lambda = 3 - \frac{1}{5}\lambda$$ 💡 **Tip:** En un SCI, siempre debemos expresar la solución en función de uno o más parámetros (normalmente $\lambda$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{4}{5}\lambda, \, 3 - \frac{1}{5}\lambda, \, \lambda \right) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$