Distribución Binomial: Mensajes de WhatsApp

**a) Ningún mensaje de los diez tenga emoticonos. (3 puntos)** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ que cuenta el número de mensajes con emoticonos. Estamos ante una **distribución binomial**, ya que tenemos un número fijo de ensayos independientes ($n=10$), cada mensaje solo tiene dos posibilidades (tiene emoticono o no lo tiene) y la probabilidad de éxito es constante ($p=0.60$). Por tanto: $X \sim B(10, \, 0.6)$. La fórmula de la probabilidad binomial es: $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Donde: - $n = 10$ (total de mensajes). - $p = 0.6$ (probabilidad de tener emoticono). - $q = 1 - p = 0.4$ (probabilidad de no tener emoticono). - $k$ es el número de éxitos deseados. Para el apartado a), buscamos la probabilidad de que **ninguno** tenga emoticono ($k=0$): $$P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot 0.6^0 \cdot 0.4^{10}$$ Como $\binom{10}{0} = 1$ y $0.6^0 = 1$: $$P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot (0.4)^{10} = 0.0001048576$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\binom{n}{0} = 1$ siempre, y cualquier número elevado a cero (excepto el propio cero) es 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=0) \approx 0.0001}$$ (También expresado como $0.4^{10}$ o $\frac{1}{9765.625}$)

**b) Exactamente dos quintas partes de los mensajes tengan emoticonos. (3 puntos)** Primero debemos calcular a cuántos mensajes equivalen esas "dos quintas partes": $$\text{Mensajes} = \frac{2}{5} \cdot 10 = \frac{20}{5} = 4$$ Por tanto, nos piden calcular la probabilidad de que exactamente 4 mensajes tengan emoticonos ($P(X=4)$): $$P(X=4) = \binom{10}{4} \cdot 0.6^4 \cdot 0.4^6$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210$$ Ahora realizamos la operación completa: $$P(X=4) = 210 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^6$$ $$P(X=4) = 210 \cdot 0.1296 \cdot 0.004096 = 0.111476736$$ 💡 **Tip:** En la calculadora, puedes usar la tecla `nCr` para obtener rápidamente el valor de $\binom{10}{4}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=4) \approx 0.1115}$$

**c) Ocho o más mensajes tengan emoticonos. (4 puntos)** La expresión "ocho o más" significa que debemos sumar las probabilidades de los casos $k=8$, $k=9$ y $k=10$: $$P(X \ge 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$$ Calculamos cada una por separado: 1. **Para $k=8$:** $$P(X=8) = \binom{10}{8} \cdot 0.6^8 \cdot 0.4^2 = 45 \cdot 0.01679616 \cdot 0.16 = 0.120932352$$ *(Nota: $\binom{10}{8} = \binom{10}{2} = 45$)* 2. **Para $k=9$:** $$P(X=9) = \binom{10}{9} \cdot 0.6^9 \cdot 0.4^1 = 10 \cdot 0.010077696 \cdot 0.4 = 0.040310784$$ 3. **Para $k=10$:** $$P(X=10) = \binom{10}{10} \cdot 0.6^{10} \cdot 0.4^0 = 1 \cdot 0.0060466176 \cdot 1 = 0.0060466176$$ Sumamos los tres resultados: $$P(X \ge 8) = 0.120932352 + 0.040310784 + 0.0060466176 = 0.1672897536$$ 💡 **Tip:** Cuando te pidan "al menos" o "más de", evalúa si es más corto calcular la probabilidad directa (como aquí) o usar el complementario $1 - P(X < 8)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 8) \approx 0.1673}$$