Probabilidad Total y Teorema de Bayes: Fabricación de latas

En primer lugar, definimos los sucesos del enunciado para organizar la información: - $M_1$: La lata es fabricada por la primera máquina. - $M_2$: La lata es fabricada por la segunda máquina. - $M_3$: La lata es fabricada por la tercera máquina. - $D$: La lata es defectuosa. - $\bar{D}$: La lata no es defectuosa (buena). Datos proporcionados: - $P(M_1) = 0.30$ (el 30%) - $P(M_2) = 0.25$ (el 25%) - $P(M_3) = 1 - (0.30 + 0.25) = 0.45$ (el resto) - $P(D|M_1) = 0.10$ (10% de defectuosas en la máquina 1) - $P(D|M_2) = 0.05$ (5% de defectuosas en la máquina 2) - $P(D) = 0.1025$ (la probabilidad total de ser defectuosa) 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de los sucesos que forman el espacio muestral (las máquinas) debe ser siempre 1.

Visualizamos el problema mediante un diagrama en árbol para identificar mejor las rutas de probabilidad. Llamaremos $p$ a la probabilidad desconocida $P(D|M_3)$ que buscaremos en el apartado a).

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que una lata fabricada por la tercera máquina sea defectuosa? (4 puntos)** Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sabemos que la probabilidad total de que una lata sea defectuosa es la suma de las probabilidades de que sea defectuosa viniendo de cada máquina: $$P(D) = P(M_1) \cdot P(D|M_1) + P(M_2) \cdot P(D|M_2) + P(M_3) \cdot P(D|M_3)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0.1025 = (0.30 \cdot 0.10) + (0.25 \cdot 0.05) + (0.45 \cdot P(D|M_3))$$ Realizamos las operaciones: $$0.1025 = 0.03 + 0.0125 + 0.45 \cdot P(D|M_3)$$ $$0.1025 = 0.0425 + 0.45 \cdot P(D|M_3)$$ Despejamos $P(D|M_3)$: $$0.45 \cdot P(D|M_3) = 0.1025 - 0.0425$$ $$0.45 \cdot P(D|M_3) = 0.06$$ $$P(D|M_3) = \frac{0.06}{0.45} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15} \approx 0.1333$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D|M_3) = \frac{2}{15} \approx 0.1333}$$

**b) Si se escoge una lata al azar y no es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la primera máquina? (3 puntos)** Se trata de una probabilidad a posteriori, por lo que usaremos el **Teorema de Bayes**: $$P(M_1|\bar{D}) = \frac{P(M_1 \cap \bar{D})}{P(\bar{D})}$$ Calculamos primero el denominador (probabilidad de que no sea defectuosa): $$P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0.1025 = 0.8975$$ Calculamos el numerador: $$P(M_1 \cap \bar{D}) = P(M_1) \cdot P(\bar{D}|M_1) = 0.30 \cdot (1 - 0.10) = 0.30 \cdot 0.90 = 0.27$$ Aplicamos la fórmula: $$P(M_1|\bar{D}) = \frac{0.27}{0.8975} \approx 0.3008$$ 💡 **Tip:** El suceso contrario a defectuoso ($D$) es no defectuoso ($\bar{D}$). Por eso $P(\bar{D}|M_1) = 1 - P(D|M_1)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M_1|\bar{D}) \approx 0.3008}$$

**c) Si se escoge una lata al azar y es defectuosa ¿Cuál es la probabilidad de que no haya sido fabricada en la segunda máquina? (3 puntos)** Nos piden $P(\overline{M_2}|D)$. Es más sencillo calcular primero la probabilidad de que **sí** proceda de la máquina 2 y luego usar el suceso complementario: $$P(\overline{M_2}|D) = 1 - P(M_2|D)$$ Calculamos $P(M_2|D)$ mediante el Teorema de Bayes: $$P(M_2|D) = \frac{P(M_2 \cap D)}{P(D)} = \frac{P(M_2) \cdot P(D|M_2)}{P(D)}$$ $$P(M_2|D) = \frac{0.25 \cdot 0.05}{0.1025} = \frac{0.0125}{0.1025} \approx 0.12195$$ Ahora hallamos el complementario: $$P(\overline{M_2}|D) = 1 - 0.12195 = 0.87805$$ 💡 **Tip:** También podrías haberlo calculado sumando las probabilidades de las máquinas 1 y 3 condicionadas a que sean defectuosas: $P(M_1|D) + P(M_3|D)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\overline{M_2}|D) \approx 0.8781}$$