Optimización del volumen de una caja

**a) Las dimensiones de la caja para que tenga el mayor volumen posible. (8 puntos)** Primero, definimos las dimensiones de la caja en función de la longitud del lado del cuadrado recortado, $x$ (en cm). Al recortar un cuadrado de lado $x$ en cada esquina de la hoja de $16 \times 10$ cm: - La longitud de la base será: $L = 16 - 2x$ - La anchura de la base será: $W = 10 - 2x$ - La altura de la caja será: $H = x$ El volumen $V$ de un ortoedro se calcula como el producto de sus tres dimensiones: $$V(x) = (16 - 2x) \cdot (10 - 2x) \cdot x$$ Multiplicamos los factores para obtener la expresión polinómica: $$V(x) = (160 - 32x - 20x + 4x^2) \cdot x$$ $$V(x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x$$ 💡 **Tip:** El dominio físico de $x$ está restringido por las dimensiones de la hoja. Como $10 - 2x \gt 0$, entonces $x \lt 5$. Además, $x$ debe ser positivo ($x \gt 0$). Por tanto, el dominio es $x \in (0, 5)$.

Para hallar el máximo volumen, calculamos la derivada de la función $V(x)$ e igualamos a cero: $$V'(x) = 12x^2 - 104x + 160$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado $12x^2 - 104x + 160 = 0$. Podemos simplificar dividiendo entre 4: $$3x^2 - 26x + 40 = 0$$ Aplicamos la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-(-26) \pm \sqrt{(-26)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 40}}{2 \cdot 3}$$ $$x = \frac{26 \pm \sqrt{676 - 480}}{6} = \frac{26 \pm \sqrt{196}}{6} = \frac{26 \pm 14}{6}$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $x_1 = \dfrac{26 + 14}{6} = \dfrac{40}{6} = \dfrac{20}{3} \approx 6.67$ 2. $x_2 = \dfrac{26 - 14}{6} = \dfrac{12}{6} = 2$ Como $x$ debe estar en el intervalo $(0, 5)$, descartamos $x_1 = 6.67$ por estar fuera del dominio. El único punto crítico válido es **$x = 2$**.

Estudiamos el signo de la derivada $V'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico dentro del dominio $(0, 5)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 2) & 2 & (2, 5)\\\hline V'(x) & + & 0 & -\\\hline Monotonía & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 2)$, elegimos $x=1$: $V'(1) = 12(1)^2 - 104(1) + 160 = 68 \gt 0$. - En el intervalo $(2, 5)$, elegimos $x=3$: $V'(3) = 12(3)^2 - 104(3) + 160 = 108 - 312 + 160 = -44 \lt 0$. Al pasar de crecer a decrecer en $x=2$, confirmamos que hay un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** También podrías usar la segunda derivada $V''(x) = 24x - 104$. Evaluando $V''(2) = 24(2) - 104 = -56 \lt 0$, lo que confirma el máximo.

Una vez hallado que el valor óptimo de $x$ es $2\text{ cm}$, calculamos las dimensiones de la caja: - Altura ($H$): $x = 2\text{ cm}$ - Longitud ($L$): $16 - 2(2) = 16 - 4 = 12\text{ cm}$ - Anchura ($W$): $10 - 2(2) = 10 - 4 = 6\text{ cm}$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\text{Las dimensiones son } 12\text{ cm de largo, } 6\text{ cm de ancho y } 2\text{ cm de alto}}$$

**b) Dicho volumen. (2 puntos)** Sustituimos las dimensiones obtenidas o el valor de $x$ en la función original para calcular el volumen máximo: $$V(2) = 12\text{ cm} \cdot 6\text{ cm} \cdot 2\text{ cm} = 144\text{ cm}^3$$ O usando la expresión polinómica: $$V(2) = 4(2)^3 - 52(2)^2 + 160(2) = 4(8) - 52(4) + 320 = 32 - 208 + 320 = 144$$ ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{V = 144\text{ cm}^3}$$