Parámetros, extremos relativos y área entre curvas

**a) El valor de $a$ que hace que la gráfica de la función $y = h(x)$ tenga un mínimo relativo en la abscisa $x = -\frac{3}{4}$. (3 puntos)** Para que la función $h(x) = ax + x^2$ tenga un extremo relativo en $x = -\frac{3}{4}$, su derivada primera en ese punto debe ser igual a cero ($h'(-3/4) = 0$). 1. Calculamos la derivada de la función: $$h'(x) = \frac{d}{dx}(ax + x^2) = a + 2x$$ 2. Imponemos la condición de extremo relativo en $x = -\frac{3}{4}$: $$h'\left(-\frac{3}{4}\right) = 0 \implies a + 2\left(-\frac{3}{4}\right) = 0$$ $$a - \frac{3}{2} = 0 \implies a = \frac{3}{2}$$ 3. Justificamos que se trata de un **mínimo relativo** usando la segunda derivada: $$h''(x) = 2$$ Como $h''(x) = 2 \gt 0$ para cualquier valor de $x$, por el criterio de la segunda derivada, en $x = -\frac{3}{4}$ existe un mínimo relativo. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(c)=0$ y $f''(c)>0$, entonces $f$ tiene un mínimo relativo en $c$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = \frac{3}{2}}$$

**b) Para el valor $a$ del apartado anterior, dibuja las curvas $y = h(x)$ e $y = h'(x)$. (2 puntos)** Con $a = \frac{3}{2} = 1,5$, las funciones a representar son: - La parábola: $h(x) = x^2 + 1,5x$ - La recta (derivada): $h'(x) = 2x + 1,5$ Para $h(x)$, el vértice está en $x = -0,75$ y corta al eje $X$ en $x=0$ y $x=-1,5$. Para $h'(x)$, es una recta con pendiente $2$ y ordenada en el origen $1,5$.

**c) Calcula el área del plano comprendida entre ambas curvas. (5 puntos)** Para hallar el área entre $h(x) = x^2 + \frac{3}{2}x$ y $h'(x) = 2x + \frac{3}{2}$, primero calculamos sus puntos de corte igualando las funciones: $$h(x) = h'(x) \implies x^2 + \frac{3}{2}x = 2x + \frac{3}{2}$$ Llevamos todos los términos a un lado de la ecuación: $$x^2 + \frac{3}{2}x - 2x - \frac{3}{2} = 0 \implies x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} = 0$$ Multiplicamos por 2 para facilitar el cálculo: $$2x^2 - x - 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4}$$ Las soluciones son: $$x_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5, \quad x_2 = \frac{-4}{4} = -1$$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte determinarán los límites de integración para el cálculo del área. $$\boxed{x = -1, \quad x = 1,5}$$

El área viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones en el intervalo $[-1, 1,5]$. Observando la gráfica o evaluando un punto intermedio (por ejemplo $x=0$, donde $h'(0)=1,5$ y $h(0)=0$), vemos que $h'(x) \ge h(x)$ en este intervalo. $$A = \int_{-1}^{1,5} (h'(x) - h(x)) \, dx = \int_{-1}^{1,5} \left(2x + \frac{3}{2} - (x^2 + \frac{3}{2}x)\right) \, dx$$ $$A = \int_{-1}^{1,5} \left(-x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\right) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$G(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{4} + \frac{3}{2}x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{4} + \frac{3}{2}x \right]_{-1}^{1,5}$$ Evaluamos en el límite superior ($x = 1,5 = 3/2$): $$G(1,5) = -\frac{(3/2)^3}{3} + \frac{(3/2)^2}{4} + \frac{3(3/2)}{2} = -\frac{27/8}{3} + \frac{9/4}{4} + \frac{9}{4} = -\frac{9}{8} + \frac{9}{16} + \frac{36}{16} = -\frac{18}{16} + \frac{9}{16} + \frac{36}{16} = \frac{27}{16}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x = -1$): $$G(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{4} + \frac{3(-1)}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{3}{2} = \frac{4 + 3 - 18}{12} = -\frac{11}{12}$$ Restamos los valores: $$A = \frac{27}{16} - \left(-\frac{11}{12}\right) = \frac{27}{16} + \frac{11}{12} = \frac{81 + 44}{48} = \frac{125}{48} \approx 2,604 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si obtienes un valor negativo, revisa cuál función está por encima de la otra. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{125}{48} \approx 2,604 \text{ u}^2}$$