Distancia de un plano al origen, intersección con ejes y ángulo entre vectores

**a) Calcular los valores de $d$ para que la distancia del plano al origen sea una unidad. (2 puntos)** La distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\pi: Ax + By + Cz + D = 0$ viene dada por la fórmula: $$dist(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En este caso, el origen es $O(0, 0, 0)$ y el plano es $\pi: 6x + 4y - 3z - d = 0$. Aplicamos la fórmula para que la distancia sea 1: $$dist(O, \pi) = \frac{|6(0) + 4(0) - 3(0) - d|}{\sqrt{6^2 + 4^2 + (-3)^2}} = 1$$ Simplificamos el denominador: $$\sqrt{36 + 16 + 9} = \sqrt{61}$$ Por tanto, tenemos la ecuación: $$\frac{|-d|}{\sqrt{61}} = 1 \implies |d| = \sqrt{61}$$ Esta ecuación tiene dos soluciones posibles para $d$. 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia siempre es un valor positivo, por lo que el valor absoluto es fundamental para obtener todas las soluciones posibles. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d = \sqrt{61} \quad \text{y} \quad d = -\sqrt{61}}$$

**b) Calcular, en función del parámetro $d$, las coordenadas de los puntos $A, B$ y $C$ que resultan de intersectar el plano $\pi$ con los ejes de coordenadas, $X, Y$ y $Z$, respectivamente. (3 puntos)** Para hallar los puntos de intersección con los ejes, anulamos las coordenadas que no corresponden al eje estudiado: 1. **Intersección con el eje $X$ (punto $A$):** Hacemos $y = 0$ y $z = 0$ en la ecuación del plano. $$6x + 4(0) - 3(0) - d = 0 \implies 6x = d \implies x = \frac{d}{6}$$ $$A\left(\frac{d}{6}, 0, 0\right)$$ 2. **Intersección con el eje $Y$ (punto $B$):** Hacemos $x = 0$ y $z = 0$. $$6(0) + 4y - 3(0) - d = 0 \implies 4y = d \implies y = \frac{d}{4}$$ $$B\left(0, \frac{d}{4}, 0\right)$$ 3. **Intersección con el eje $Z$ (punto $C$):** Hacemos $x = 0$ y $y = 0$. $$6(0) + 4(0) - 3z - d = 0 \implies -3z = d \implies z = -\frac{d}{3}$$ $$C\left(0, 0, -\frac{d}{3}\right)$$ 💡 **Tip:** Los puntos de los ejes siempre tienen dos de sus coordenadas nulas. Por ejemplo, cualquier punto del eje $Z$ tiene la forma $(0, 0, z)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A\left(\frac{d}{6}, 0, 0\right), \quad B\left(0, \frac{d}{4}, 0\right), \quad C\left(0, 0, -\frac{d}{3}\right)}$$

**c) Para $d \neq 0$, calcular el ángulo formado por los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ determinados por los puntos del apartado anterior. (5 puntos)** Primero, calculamos las componentes de los vectores restando las coordenadas de los puntos: $$\vec{AB} = B - A = \left(0 - \frac{d}{6}, \frac{d}{4} - 0, 0 - 0\right) = \left(-\frac{d}{6}, \frac{d}{4}, 0\right)$$ $$\vec{AC} = C - A = \left(0 - \frac{d}{6}, 0 - 0, -\frac{d}{3} - 0\right) = \left(-\frac{d}{6}, 0, -\frac{d}{3}\right)$$ Para facilitar los cálculos posteriores, podemos extraer factor común $|d|$ o trabajar directamente con las fracciones. 💡 **Tip:** El ángulo entre dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ se obtiene mediante la relación: $\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Calculamos los elementos necesarios para la fórmula del ángulo: 1. **Producto escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$:** $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \left(-\frac{d}{6}\right)\left(-\frac{d}{6}\right) + \left(\frac{d}{4}\right)(0) + (0)\left(-\frac{d}{3}\right) = \frac{d^2}{36}$$ 2. **Módulo de $\vec{AB}$:** $$|\vec{AB}| = \sqrt{\left(-\frac{d}{6}\right)^2 + \left(\frac{d}{4}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{d^2}{36} + \frac{d^2}{16}} = \sqrt{\frac{4d^2 + 9d^2}{144}} = \sqrt{\frac{13d^2}{144}} = \frac{|d|\sqrt{13}}{12}$$ 3. **Módulo de $\vec{AC}$:** $$|\vec{AC}| = \sqrt{\left(-\frac{d}{6}\right)^2 + 0^2 + \left(-\frac{d}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{d^2}{36} + \frac{d^2}{9}} = \sqrt{\frac{d^2 + 4d^2}{36}} = \sqrt{\frac{5d^2}{36}} = \frac{|d|\sqrt{5}}{6}$$

Sustituimos en la fórmula del coseno del ángulo $\alpha$: $$\cos \alpha = \frac{\frac{d^2}{36}}{\frac{|d|\sqrt{13}}{12} \cdot \frac{|d|\sqrt{5}}{6}} = \frac{\frac{d^2}{36}}{\frac{d^2\sqrt{65}}{72}}$$ Como $d \neq 0$, podemos simplificar $d^2$: $$\cos \alpha = \frac{1}{36} \cdot \frac{72}{\sqrt{65}} = \frac{72}{36\sqrt{65}} = \frac{2}{\sqrt{65}}$$ Para hallar el ángulo $\alpha$: $$\alpha = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{65}}\right) \approx 75.64^\circ$$ Observamos que el ángulo es independiente del valor de $d$ (siempre que sea distinto de cero). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{65}}\right) \approx 75.64^\circ}$$