Intersección de rectas y recta perpendicular común

**a) Comprobar que se cortan y calcular las coordenadas del punto $P$ de intersección. (5 puntos)** Primero, extraemos un punto y el vector director de cada recta a partir de sus ecuaciones continuas: Para la recta $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{2}$: - Punto $A_r = (1, 2, 1)$ - Vector director $\vec{v_r} = (1, 1, 2)$ Para la recta $s: \frac{x-3}{-2} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+1}{2}$: - Punto $A_s = (3, 3, -1)$ - Vector director $\vec{v_s} = (-2, -1, 2)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_x, v_y, v_z)$.

Para comprobar si las rectas se cortan, primero vemos que los vectores $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$ no son paralelos (sus coordenadas no son proporcionales: $\frac{1}{-2} \neq \frac{1}{-1}$). Calculamos el vector que une ambos puntos: $\vec{A_r A_s} = (3-1, 3-2, -1-1) = (2, 1, -2)$. Estudiamos el determinante formado por los tres vectores $\det(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{A_r A_s})$. Si el determinante es $0$, las rectas están en el mismo plano y, al no ser paralelas, se cortan. $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = [1(-1)(-2) + 1 \cdot 2 \cdot 2 + 2(-2)(1)] - [2(-1)(2) + 1 \cdot 2 \cdot 1 + (-2)(1)(-2)]$$ $$= [2 + 4 - 4] - [-4 + 2 + 4] = 2 - 2 = 0$$ Como el determinante es **0**, las rectas **se cortan**.

Para hallar el punto de intersección $P$, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 1 + 2\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación de la recta $s$: $$\frac{(1 + \lambda) - 3}{-2} = \frac{(2 + \lambda) - 3}{-1} \implies \frac{\lambda - 2}{-2} = \frac{\lambda - 1}{-1}$$ $$\lambda - 2 = 2(\lambda - 1) \implies \lambda - 2 = 2\lambda - 2 \implies \lambda = 0$$ Sustituyendo $\lambda = 0$ en las paramétricas de $r$, obtenemos el punto $P$: $$P = (1 + 0, 2 + 0, 1 + 2(0)) = (1, 2, 1)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(1, 2, 1)}$$

**b) Determinar la ecuación de la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$ y a $s$. (5 puntos)** La recta buscada, llamémosla $t$, debe tener un vector director $\vec{v_t}$ que sea perpendicular a $\vec{v_r}$ y a $\vec{v_s}$. Este vector se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{v_t} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos desarrollando por la primera fila: $$\vec{v_t} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_t} = \vec{i}(2 - (-2)) - \vec{j}(2 - (-4)) + \vec{k}(-1 - (-2)) = 4\vec{i} - 6\vec{j} + 1\vec{k}$$ $$\vec{v_t} = (4, -6, 1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{a} \times \vec{b}$ siempre genera un vector perpendicular a ambos vectores originales.

Conocemos el punto $P(1, 2, 1)$ y el vector director $\vec{v_t} = (4, -6, 1)$. Podemos escribir la ecuación de la recta $t$ en forma continua: $$t: \frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{-6} = \frac{z - 1}{1}$$ O bien, en forma paramétrica: $$t: \begin{cases} x = 1 + 4\mu \\ y = 2 - 6\mu \\ z = 1 + \mu \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{-6} = z - 1}$$