Ecuación matricial con parámetros

**a) Estudiar los valores del parámetro real $a$ para los que la ecuación matricial $A^2 X = B$ tiene una única solución. (5 puntos)** Para que una ecuación matricial de la forma $M X = B$ tenga una solución única, la matriz de coeficientes $M$ debe ser cuadrada e invertible. En este caso, la matriz es $M = A^2$. Una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero. Por tanto, buscamos los valores de $a$ tales que: $$\det(A^2) \neq 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda la propiedad de los determinantes: $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$. Aplicándola aquí, tenemos que $\det(A^2) = (\det(A))^2$. Por lo tanto, $\det(A^2) \neq 0$ es equivalente a decir que $\det(A) \neq 0$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus o el desarrollo por una fila/columna. En este caso, el desarrollo por la segunda columna es muy sencillo ya que tiene dos ceros: $$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ a & 0 & 3 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por la columna 2: $$\det(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ a & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot (1 \cdot 3 - 2 \cdot a) = 2(3 - 2a) = 6 - 4a$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$6 - 4a = 0 \implies 4a = 6 \implies a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$ Si $a \neq \frac{3}{2}$, entonces $\det(A) \neq 0$, lo que implica $\det(A^2) \neq 0$. ✅ **Resultado (valores de a):** $$\boxed{\text{La ecuación tiene solución única para } a \in \mathbb{R} \setminus \{3/2\}}$$

**b) Sabiendo que el vector $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ es una solución de la ecuación $A^2 X = B$, encontrar el valor de $\alpha, \beta$ y $\gamma$ dependiendo del parámetro real $a$. (5 puntos)** Nos dan $X = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ y sabemos que cumple $A^2 X = B$. Podemos reescribir la ecuación como: $$A \cdot (A \cdot X) = B$$ Primero calcularemos el vector intermedio $Y = A \cdot X$, y después multiplicaremos ese resultado de nuevo por $A$ para obtener $B$. Esto es más eficiente que calcular $A^2$ explícitamente. 💡 **Tip:** La multiplicación de matrices no es conmutativa, pero sí asociativa: $A(AX) = (AA)X = A^2 X$.

Calculamos $Y = AX$: $$Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ a & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(1 \cdot 3) + (0 \cdot (-2)) + (2 \cdot (-1)) = 3 + 0 - 2 = 1$ - Fila 2: $(3 \cdot 3) + (2 \cdot (-2)) + (1 \cdot (-1)) = 9 - 4 - 1 = 4$ - Fila 3: $(a \cdot 3) + (0 \cdot (-2)) + (3 \cdot (-1)) = 3a - 3$ Por tanto: $$Y = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3a - 3 \end{pmatrix}$$

Ahora calculamos $B = A \cdot Y$: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ a & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3a - 3 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto: - $\alpha = (1 \cdot 1) + (0 \cdot 4) + (2 \cdot (3a - 3)) = 1 + 6a - 6 = 6a - 5$ - $\beta = (3 \cdot 1) + (2 \cdot 4) + (1 \cdot (3a - 3)) = 3 + 8 + 3a - 3 = 3a + 8$ - $\gamma = (a \cdot 1) + (0 \cdot 4) + (3 \cdot (3a - 3)) = a + 9a - 9 = 10a - 9$ Como $B = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}$, igualamos componente a componente. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\alpha = 6a - 5, \quad \beta = 3a + 8, \quad \gamma = 10a - 9}$$