Invertibilidad de matrices y ecuaciones matriciales con parámetro

**a) ¿Para qué valores del parámetro $k$ la matriz $A$ es invertible? (2 puntos)** Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & k & 3 \\ k & \frac{1}{3} & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos: $$|A| = \left[ 0 \cdot \frac{1}{3} \cdot (-1) + k \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot k \cdot (-1) \right] - \left[ 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 + 1 \cdot (-1) \cdot 0 + k \cdot k \cdot (-1) \right]$$ $$|A| = [0 + 2k - 3k] - [2 + 0 - k^2]$$ $$|A| = -k - 2 + k^2 = k^2 - k - 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista la inversa $A^{-1}$, el determinante no puede ser nulo, ya que la fórmula incluye dividir por dicho valor: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores que hacen que la matriz no sea invertible: $$k^2 - k - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$k = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $k_1 = \frac{4}{2} = 2$ - $k_2 = \frac{-2}{2} = -1$ Por tanto, la matriz $A$ es invertible para cualquier valor de $k$ distinto de $2$ y $-1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}}$$

**b) Para $k = 0$, si existe, calcular la matriz inversa de $A$. (4 puntos)** Primero, sustituimos $k=0$ en la matriz $A$ y comprobamos que es invertible: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & \frac{1}{3} & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ Como vimos en el apartado anterior, si $k=0$, el determinante es $|A| = 0^2 - 0 - 2 = -2$. Al ser $|A| \neq 0$, la inversa existe. Calculamos la matriz de los adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = + \begin{vmatrix} 1/3 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -1/3 - (-1) = 2/3$ - $A_{12} = - \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(0 - 2) = 2$ - $A_{13} = + \begin{vmatrix} 0 & 1/3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 0 - 2/3 = -2/3$ - $A_{21} = - \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -(0 - (-3)) = -3$ - $A_{22} = + \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 0 - 6 = -6$ - $A_{23} = - \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{31} = + \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1/3 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1$ - $A_{32} = - \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{33} = + \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{vmatrix} = 0$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2/3 & 2 & -2/3 \\ -3 & -6 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Transponemos la adjunta: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 2/3 & -3 & -1 \\ 2 & -6 & 0 \\ -2/3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$: $$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 2/3 & -3 & -1 \\ 2 & -6 & 0 \\ -2/3 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/3 & 3/2 & 1/2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1/3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1/3 & 3/2 & 1/2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1/3 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$

**c) Para $k = 0$, hallar las matrices diagonales $D$ que verifican $AD = DA$. (4 puntos)** Sea $D$ una matriz diagonal de la forma: $$D = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{pmatrix}$$ Calculamos el producto $AD$: $$AD = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1/3 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3d_3 \\ 0 & \frac{1}{3}d_2 & d_3 \\ 2d_1 & -d_2 & -d_3 \end{pmatrix}$$ Calculamos el producto $DA$: $$DA = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1/3 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3d_1 \\ 0 & \frac{1}{3}d_2 & d_2 \\ 2d_3 & -d_3 & -d_3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Multiplicar por una matriz diagonal por la derecha escala las columnas, y por la izquierda escala las filas.

Igualamos término a término las matrices $AD$ y $DA$: 1. Posición (1,3): $3d_3 = 3d_1 \implies d_3 = d_1$ 2. Posición (2,3): $d_3 = d_2$ 3. Posición (3,1): $2d_1 = 2d_3 \implies d_1 = d_3$ 4. Posición (3,2): $-d_2 = -d_3 \implies d_2 = d_3$ De todas las ecuaciones se deduce que: $$d_1 = d_2 = d_3$$ Esto significa que todos los elementos de la diagonal deben ser iguales. Llamémoslo $d$, donde $d \in \mathbb{R}$. Por tanto, las matrices $D$ son de la forma: $$D = \begin{pmatrix} d & 0 & 0 \\ 0 & d & 0 \\ 0 & 0 & d \end{pmatrix} = d \cdot I$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{D = \begin{pmatrix} d & 0 & 0 \\ 0 & d & 0 \\ 0 & 0 & d \end{pmatrix} \text{ con } d \in \mathbb{R}}$$