Probabilidad: compatibilidad y operaciones con sucesos

**10.– (2 puntos) Dados los sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio, se sabe que $P(A) = 0.27$, $P(B') = 0.82$ y $P(A \cup B) = 0.4$. Determina si los sucesos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles. Calcula $P((A \cup B)')$ y $P(A \cap B')$, ($A'$ significa suceso complementario).** En primer lugar, identificamos los datos proporcionados: - $P(A) = 0.27$ - $P(B') = 0.82$ - $P(A \cup B) = 0.4$ A partir de $P(B')$, podemos calcular la probabilidad del suceso $B$ utilizando la propiedad del suceso contrario: $$P(B) = 1 - P(B') = 1 - 0.82 = 0.18$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para cualquier suceso $E$, se cumple que $P(E) + P(E') = 1$, donde $E'$ es su suceso complementario. $$\boxed{P(A) = 0.27, \quad P(B) = 0.18, \quad P(A \cup B) = 0.4}$$

Para responder a las preguntas, es fundamental conocer la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos para despejar $P(A \cap B)$: $$0.4 = 0.27 + 0.18 - P(A \cap B)$$ $$0.4 = 0.45 - P(A \cap B)$$ $$P(A \cap B) = 0.45 - 0.4 = 0.05$$ Ahora podemos organizar toda la información en una **tabla de contingencia**, completando los valores restantes mediante restas: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & B' & \text{Total} \\\hline A & 0.05 & 0.22 & 0.27 \\ A' & 0.13 & 0.60 & 0.73 \\\hline \text{Total} & 0.18 & 0.82 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Las tablas de contingencia son muy útiles para visualizar todas las relaciones entre dos sucesos y sus complementarios.

Dos sucesos $A$ y $B$ son **incompatibles** si su intersección es vacía, es decir, si $P(A \cap B) = 0$. En caso contrario, si $P(A \cap B) \neq 0$, se dicen **compatibles**. En el paso anterior hemos calculado: $$P(A \cap B) = 0.05$$ Como $0.05 \neq 0$, los sucesos pueden ocurrir simultáneamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos } A \text{ y } B \text{ son compatibles}}$$

Calculamos las dos probabilidades restantes pedidas en el enunciado: 1. **Cálculo de $P((A \cup B)')$:** Utilizamos la propiedad del suceso complementario aplicada a la unión: $$P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$$ $$P((A \cup B)') = 1 - 0.4 = 0.6$$ 2. **Cálculo de $P(A \cap B')$:** Esta probabilidad representa la probabilidad de que ocurra $A$ y no ocurra $B$ (suceso diferencia $A - B$). Según la tabla o la fórmula teórica: $$P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B)$$ $$P(A \cap B') = 0.27 - 0.05 = 0.22$$ 💡 **Tip:** $P(A \cap B')$ es lo mismo que decir "probabilidad de que ocurra SOLO A". Gráficamente, es el área de A quitándole el trozo común con B. ✅ **Resultados finales:** $$\boxed{P((A \cup B)') = 0.6} \quad \text{y} \quad \boxed{P(A \cap B') = 0.22}$$