Cálculo de parámetros de la normal e intervalo central

**(i) la media y desviación típica de las puntuaciones del examen que siguen una distribución normal.** Sea $X$ la variable aleatoria que representa la nota real de los alumnos, la cual sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. La tipificación de una variable normal se realiza mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Donde: - $X$ es la nota real. - $Z$ es la puntuación tipificada. - $\mu$ es la media. - $\sigma$ es la desviación típica. Según los datos del enunciado: 1. Para el primer estudiante: $Z_1 = 0.6$ cuando $X_1 = 94$. 2. Para el segundo estudiante: $Z_2 = -0.8$ cuando $X_2 = 73$. Sustituimos en la fórmula para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} 0.6 = \dfrac{94 - \mu}{\sigma} \\ -0.8 = \dfrac{73 - \mu}{\sigma} \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Tipificar consiste en transformar cualquier normal $N(\mu, \sigma)$ en una normal estándar $N(0, 1)$ para poder comparar valores o usar tablas.

Despejamos la diferencia de la nota y la media en ambas ecuaciones: 1) $94 - \mu = 0.6\sigma$ 2) $73 - \mu = -0.8\sigma$ Podemos resolver por el método de resta (reducción). Restamos la segunda ecuación a la primera: $$(94 - \mu) - (73 - \mu) = 0.6\sigma - (-0.8\sigma)$$ $$94 - 73 = 0.6\sigma + 0.8\sigma$$ $$21 = 1.4\sigma$$ $$\sigma = \frac{21}{1.4} = 15$$ Ahora sustituimos el valor de $\sigma = 15$ en la primera ecuación para hallar $\mu$: $$94 - \mu = 0.6(15)$$ $$94 - \mu = 9$$ $$\mu = 94 - 9 = 85$$ ✅ **Resultado (media y desviación):** $$\boxed{\mu = 85, \quad \sigma = 15}$$

**(ii) entre que puntuaciones alrededor de la media está la nota del 60 % de los estudiantes.** Buscamos un intervalo centrado en la media $(\mu - c, \mu + c)$ tal que la probabilidad sea $0.60$. En términos de la variable tipificada $Z$, buscamos un valor $z$ tal que: $$P(-z \le Z \le z) = 0.60$$ Utilizamos las propiedades de la normal estándar: $$P(Z \le z) - P(Z \le -z) = 0.60$$ $$P(Z \le z) - (1 - P(Z \le z)) = 0.60$$ $$2 \cdot P(Z \le z) - 1 = 0.60$$ $$2 \cdot P(Z \le z) = 1.60$$ $$P(Z \le z) = 0.80$$ Buscamos en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor de $z$ cuya probabilidad acumulada es $0.80$. Observando la tabla (o valores comunes), el valor más cercano es: $$z \approx 0.84$$ 💡 **Tip:** En un intervalo central para una probabilidad $p$, buscamos en la tabla el valor que deja por debajo una probabilidad de $p + \frac{1-p}{2}$.

Una vez hallado el valor de $z = 0.84$ en la escala tipificada, lo destipificamos para volver a las notas reales del examen usando $X = \mu \pm z \cdot \sigma$. Nota inferior ($x_1$): $$x_1 = 85 - 0.84 \cdot 15 = 85 - 12.6 = 72.4$$ Nota superior ($x_2$): $$x_2 = 85 + 0.84 \cdot 15 = 85 + 12.6 = 97.6$$ Por tanto, el $60 \%$ de los estudiantes tiene una nota comprendida entre $72.4$ y $97.6$ puntos. ✅ **Resultado (intervalo):** $$\boxed{[72.4, \, 97.6]}$$