Recta contenida en un plano y perpendicular a otra

La recta $r$ viene dada como la intersección de dos planos. Para hallar su vector director $\vec{d_r}$, realizamos el producto vectorial de los vectores normales de ambos planos: $$\vec{n_1} = (1, 1, 1), \quad \vec{n_2} = (4, -1, 1)$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{d_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{d_r} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 4) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 4)$$ $$\vec{d_r} = \mathbf{i}(1 + 1) - \mathbf{j}(1 - 4) + \mathbf{k}(-1 - 4) = (2, 3, -5)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es siempre perpendicular a los vectores normales de dichos planos. $$\boxed{\vec{d_r} = (2, 3, -5)}$$

Buscamos una recta $s$ con vector director $\vec{d_s}$ que cumpla dos condiciones: 1. Está contenida en $\pi : x + y - 2z + 1 = 0$, por lo que $\vec{d_s}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi} = (1, 1, -2)$. 2. Corta perpendicularmente a $r$, por lo que $\vec{d_s}$ debe ser perpendicular a $\vec{d_r} = (2, 3, -5)$. Por tanto, $\vec{d_s}$ será el producto vectorial de $\vec{n_\pi}$ y $\vec{d_r}$: $$\vec{d_s} = \vec{n_\pi} \times \vec{d_r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & -5 \end{vmatrix}$$ $$\vec{d_s} = \mathbf{i}(-5 - (-6)) - \mathbf{j}(-5 - (-4)) + \mathbf{k}(3 - 2)$$ $$\vec{d_s} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(1) = (1, 1, 1)$$ $$\boxed{\vec{d_s} = (1, 1, 1)}$$

Como la recta $s$ está contenida en el plano $\pi$ y corta a la recta $r$, el punto de corte $P$ debe ser necesariamente el punto de intersección entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Primero, obtenemos un punto de $r$. Si hacemos $x = 0$ en el sistema de $r$: $$\begin{cases} y + z = -1 \\ -y + z = 3 \end{cases} \implies 2z = 2 \implies z = 1, \, y = -2$$ El punto $P_r(0, -2, 1)$ pertenece a $r$. Las ecuaciones paramétricas de $r$ son: $$r \equiv \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = -2 + 3\lambda \\ z = 1 - 5\lambda \end{cases}$$ Sustituimos $r$ en la ecuación de $\pi : x + y - 2z + 1 = 0$: $$(2\lambda) + (-2 + 3\lambda) - 2(1 - 5\lambda) + 1 = 0$$ $$2\lambda - 2 + 3\lambda - 2 + 10\lambda + 1 = 0$$ $$15\lambda - 3 = 0 \implies \lambda = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$$ Calculamos las coordenadas del punto $P$: $$x = 2(1/5) = 2/5$$ $$y = -2 + 3(1/5) = -7/5$$ $$z = 1 - 5(1/5) = 0$$ 💡 **Tip:** Si una recta está en un plano y corta a otra, el punto de contacto es la intersección de la recta exterior con el plano. $$\boxed{P\left(\frac{2}{5}, -\frac{7}{5}, 0\right)}$$

Ya tenemos el punto $P\left(\frac{2}{5}, -\frac{7}{5}, 0\right)$ y el vector director $\vec{d_s} = (1, 1, 1)$. La ecuación continua se construye como: $$\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Sustituyendo los valores: $$\frac{x - 2/5}{1} = \frac{y - (-7/5)}{1} = \frac{z - 0}{1}$$ Simplificando obtenemos la solución final: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{s \equiv x - \frac{2}{5} = y + \frac{7}{5} = z}$$