Discusión de la posición relativa de tres planos con parámetro

**(i) se corten en un punto.** Para estudiar la posición relativa de los tres planos, analizamos el sistema de ecuaciones lineales formado por sus ecuaciones. Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & a-1 \\ 2 & 1 & a & a \\ 1 & a & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, la naturaleza de la intersección depende de los rangos de estas matrices. 💡 **Tip:** Tres planos se cortan en un punto si y solo si el sistema es compatible determinado, lo que ocurre cuando $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3$ (número de incógnitas).

Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus para hallar los valores críticos del parámetro $a$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot a \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot a) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (a \cdot a \cdot 1) - (1 \cdot 2 \cdot 1)$$ $$|A| = 1 + a + 2a - 1 - a^2 - 2 = -a^2 + 3a - 2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores donde el rango de $A$ no es máximo: $$-a^2 + 3a - 2 = 0 \implies a^2 - 3a + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} \implies a_1 = 2, \quad a_2 = 1$$ $$\boxed{|A| = 0 \iff a=1 \text{ o } a=2}$$

Si $a \neq 1$ y $a \neq 2$, el determinante $|A| \neq 0$. Por lo tanto: - $\text{rang}(A) = 3$ - $\text{rang}(A^*) = 3$ (ya que es una matriz $3 \times 4$ que contiene a $A$) - Número de incógnitas $= 3$ Por el Teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Compatible Determinado**. Esto significa que los tres planos se cortan en un único punto. ✅ **Resultado (i):** $$\boxed{a \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}}$$

**(ii) se corten en una recta.** Los planos se cortan en una recta si el sistema es **Compatible Indeterminado** con un grado de libertad, es decir, $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2$. Probamos con **$a=2$** en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A|=0$, por lo que $\text{rang}(A) \lt 3$. Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Analizamos el rango de $A^*$ observando las columnas. Notamos que la columna 1, la columna 3 y la columna de términos independientes son idénticas: $C_1 = C_3 = C_4 = (1, 2, 1)^T$. Al ser columnas proporcionales, no aumentan el rango. Por tanto, $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 \lt 3$. El sistema es SCI. ✅ **Resultado (ii):** $$\boxed{a = 2}$$

**(iii) no se corten.** Los planos no tienen una intersección común (no se cortan los tres a la vez) si el sistema es **Incompatible**, es decir, $\text{rang}(A) \neq \text{rang}(A^*)$. Probamos con **$a=1$** en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ En la matriz $A$, las filas 1 y 3 son iguales, por lo que $|A|=0$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ nos indica que $\text{rang}(A) = 2$. Calculamos el rango de $A^*$ usando un menor que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 1 + 0) - (0 + 1 + 2) = 2 - 3 = -1 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rang}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3$, el sistema es Incompatible. En este caso específico, además, observamos que $\pi_1$ y $\pi_3$ son planos paralelos ($x+y+z=0$ y $x+y+z=1$), lo que confirma que no hay intersección. ✅ **Resultado (iii):** $$\boxed{a = 1}$$