Resolución de un sistema de ecuaciones matriciales

Para hallar las matrices $B$ y $C$, tratamos el sistema de ecuaciones matriciales como un sistema de ecuaciones lineales tradicional, utilizando el método de reducción. Tenemos el sistema: $$\begin{cases} (1) & B + C^{-1} = A \\ (2) & B - C^{-1} = A^T \end{cases}$$ **Para hallar $B$:** Sumamos ambas ecuaciones $(1) + (2)$: $$(B + C^{-1}) + (B - C^{-1}) = A + A^T \implies 2B = A + A^T \implies B = \frac{1}{2}(A + A^T)$$ **Para hallar $C^{-1}$:** Restamos la segunda a la primera $(1) - (2)$: $$(B + C^{-1}) - (B - C^{-1}) = A - A^T \implies 2C^{-1} = A - A^T \implies C^{-1} = \frac{1}{2}(A - A^T)$$ 💡 **Tip:** Aunque las incógnitas sean matrices, podemos usar métodos de resolución de sistemas (sustitución, igualación o reducción) siempre que respetemos las propiedades de las operaciones matriciales (como la no conmutatividad del producto, aunque aquí solo intervienen sumas).

Primero calculamos la matriz traspuesta de $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ intercambiando filas por columnas: $$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $B = \frac{1}{2}(A + A^T)$: $$A + A^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & 1+2 \\ 2+1 & 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos por el escalar $\frac{1}{2}$: $$B = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3/2 \\ 3/2 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado para B:** $$\boxed{B = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix}}$$

Calculamos $C^{-1} = \frac{1}{2}(A - A^T)$: $$A - A^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & 1-2 \\ 2-1 & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos por el escalar $\frac{1}{2}$: $$C^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1/2 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para restar matrices, estas deben tener la misma dimensión y se restan elemento a elemento: $c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$.

Para hallar $C$, debemos calcular la inversa de $C^{-1}$, ya que $(C^{-1})^{-1} = C$. Llamaremos $M = C^{-1}$. 1. **Calculamos el determinante de $M$:** $$\det(M) = \begin{vbar} 0 & -1/2 \\ 1/2 & 0 \end{vbar} = (0 \cdot 0) - \left(\frac{1}{2} \cdot -\frac{1}{2}\right) = 0 - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}$$ Como $\det(M) \neq 0$, la matriz es invertible. 2. **Calculamos la matriz adjunta de $M$:** $M = \begin{pmatrix} 0 & -1/2 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix} \implies Adj(M) = \begin{pmatrix} 0 & -1/2 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}$ *(Nota: En una matriz $2 \times 2$, los adjuntos son: $c_{11}=0, c_{12}=-1/2, c_{21}=1/2, c_{22}=0$)*. 3. **Aplicamos la fórmula de la inversa:** $C = M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} (Adj(M))^T$ $$(Adj(M))^T = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 \\ -1/2 & 0 \end{pmatrix}$$ $$C = \frac{1}{1/4} \begin{pmatrix} 0 & 1/2 \\ -1/2 & 0 \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} 0 & 1/2 \\ -1/2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$ del tipo $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la inversa es $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. ✅ **Resultado para C:** $$\boxed{C = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}}$$