Ampliación de sistemas de ecuaciones lineales

Para resolver este ejercicio, primero analizamos el sistema dado de dos ecuaciones con tres incógnitas ($x, y, z$). La matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ son: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 & | & 1 \\ 1 & 1 & -1 & | & 3 \end{pmatrix}$$ Calculamos el rango de $A$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - (-1) = 3 \neq 0$$ Esto implica que $\text{rg}(A) = 2$. Como solo hay dos filas, el rango de la ampliada también es $\text{rg}(A^*) = 2$. 💡 **Tip:** Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, para que un sistema de 3 incógnitas sea: - **SCD:** $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$. - **SCI:** $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < 3$. - **SI:** $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$.

**(i) incompatible.** Para que sea incompatible, la nueva ecuación debe hacer que $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 3$. Una forma sencilla es crear una ecuación cuyos coeficientes sean una combinación lineal de las anteriores, pero cuyo término independiente no lo sea. Sumamos las dos ecuaciones dadas para obtener los coeficientes: - Coeficientes: $(2+1)x + (-1+1)y + (2-1)z = 3x + z$. - Término independiente si fuera compatible: $1 + 3 = 4$. Si elegimos $3x + z = 0$ (cambiando el 4 por un 0), el rango de $A$ seguirá siendo 2 (la tercera fila es suma de las otras), pero el rango de $A^*$ será 3. Comprobamos el rango de $A^*$ con la nueva fila: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3(-3 - 1) = -12 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{3x + z = 0}$$

**(ii) compatible determinado.** Para que sea compatible determinado, necesitamos que $\text{rg}(A) = 3$. Esto significa que la nueva ecuación debe ser linealmente independiente de las otras dos. Probamos añadiendo una ecuación muy simple, por ejemplo, $z = 0$. Verificamos si el determinante de la nueva matriz $A$ es distinto de cero: $$\text{det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera fila: $$\text{det}(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 + 1) = 3 \neq 0$$ Como el determinante es no nulo, $\text{rg}(A) = 3$. Por el Teorema de Rouché-Frobenius, al haber 3 incógnitas, el sistema será compatible determinado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{z = 0}$$

**(iii) compatible indeterminado.** Para que sea compatible indeterminado, necesitamos que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2$, siendo este valor menor que el número de incógnitas (3). Para lograr esto, la tercera ecuación debe ser una combinación lineal exacta de las dos primeras (tanto en coeficientes como en término independiente). La opción más fácil es sumar las dos ecuaciones directamente: $$(2x - y + 2z) + (x + y - z) = 1 + 3$$ $$3x + 0y + z = 4 \implies 3x + z = 4$$ En este caso, la tercera fila es la suma de las dos primeras, por lo que no aporta información nueva y el rango se mantiene en 2 para ambas matrices. ✅ **Resultado:** $$\boxed{3x + z = 4}$$